La continuidad de las raíces de un polinomio en términos de sus coeficientes

Question

Es que en general se afirma que las raíces de un polinomio son una función continua de los coeficientes. Cómo es esta declaración formalizada? Supongo que es por la restricción a los polinomios de un fijo de grado n (tal vez monic? parece que no importa), y teniendo en cuenta la recolección de raíces como un punto en $F^n/\sim$ donde F es el campo y $\sim$ es de permutación de las coordenadas, pero hay algo que me falta? Más al punto, ¿dónde podría encontrar una prueba?

Al menos, he visto que esta indicado para C (y, por tanto, R); esto es incluso cierto en general-por ejemplo, para un algebraicamente cerrado con valores de campo (y por lo tanto de no-Arquímedes campo, porque aquellos que se extienden de forma exclusiva)? He visto a entender que no es siempre cierto en el no-Arquímedes caso; ¿es correcto esto? ¿Qué es un contraejemplo? (Si esto está mal y es cierto que en esta generalidad, es verdad en un mayor grado de generalidad?)

Answer 1

Aquí es una versión de la continuidad de las raíces.
Considerar el monic complejo polinomio $f(z)=z^n+c_1z^{n-1}+...+c_n\in \mathbb C[z]$ y el factor como $$f(z)=(z-a_1)...(z-a_n) \quad (a_k\in \mathbb C)$$ donde las raíces $a_k$ están dispuestos en un cierto orden, y, por supuesto, no tiene por qué ser distinto.
A continuación, para cada $\epsilon \gt 0$ existe $\delta \gt 0$ de manera tal que cada polinomio $g(z) =z^n+d_1z^{n-1}+...+d_n\in \mathbb C[z]$ satisfacción $|d_k-c_k|\lt \delta \quad (k=1,...,n)$ puede ser escrito $$g(z)=(z-b_1)...(z-b_n) \quad (b_k\in \mathbb C)$$
con $|b_k-a_k|\lt \epsilon \quad (k=1,...,n)$.

Una más geométrica versión es considerar la Viète mapa de $v:\mathbb C^n \to \mathbb C^n$ envío, en la notación anterior, $(a_1,...,a_n)$ $(c_1,...,c_n)$(identificado con $z^n+c_1z^{n-1}+...+c_n=(z-a_1)...(z-a_n)$ ).
Es un polinomio de mapa (y por lo tanto sin duda continua!) desde $c_k=(-1)^{k} s_k( a_1,...,a_n)$ donde $s_k$ $k$- ésimo polinomio simétrico en $n$ variables.
Es evidente que existe una acción del grupo simétrico $S_n$ $\mathbb C^n$ y el teorema de la continuidad de las raíces de los estados que la Viète mapa desciende a un homeomorphism $w: \mathbb C^n / S_n \to \mathbb C^n$. Es trivial (por la definición de la topología cociente) que $w$ es un bijective de asignación continua, pero la continuidad de la inversa es la parte difícil.
La dificultad se concentra en los puntos de $(c_1,...,c_n)$ correspondiente a los polinomios $z^n+c_1z^{n-1}+...+c_n$ tener múltiples raíces.

Esto, y mucho más, se ha demostrado en Whitney en el Complejo de la Analítica de Variedades.

La geometría algebraica punto de vista Desde el que usted está interesado en general algebraicamente cerrado campos de $k$, aquí es una interpretación para el caso.
El grupo simétrico $S_n$ actúa en $\mathbb A_k^n$, y el problema es si el cociente set $\mathbb A_k^n /S_n$ tiene una razonable estructura algebraica. La respuesta es sí y la Viète mapa de nuevo desciende a un isomorfismo de variedades algebraicas $\mathbb A_k^n /S_n \stackrel {\sim }{\to} \mathbb A_k^n$.
Esta es la interpretación geométrica del teorema fundamental de polinomios simétricos.
El punto crucial es que la simétrica polinomios son un finitely generadas $k$-álgebra.

Hilbert 14 del problema era si más general, los invariantes de un polinomio anillo bajo la acción de un lineal de grupo forma un finitely generado álgebra. Emmy Noether demostrado en 1926 que la respuesta es sí para un grupo finito (en alguna de sus características), como se ilustra por $S_n$.
Sin embargo Nagata anunciado contraejemplos (en todas las características) de Hilbert 14 de problema en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1958 y publicado en 1959.

Answer 2

Creo que puede ser una prueba de su declaración utilizando el siguiente análisis complejo truco (no sé si una idea similar podría trabajar en $\mathbb{C}_p)$: si $U$ es un subconjunto abierto con suave límite de $\partial U$ considerar,

$$N_{U}(p) = \frac{1}{2i \pi} \oint_{\partial U} \frac{p'(z)}{p(z)}dz$$

Cuando se define, $N_U(p)$ es el número de ceros de $p$ $U$ contados con su multiplicidad. A continuación, fije un polinomio $p_0$ grado $n$, y recoger $U$ un vecindario de sus ceros. A continuación, el mapa de $p \mapsto N_U(p)$ está bien definida y continua en un barrio de $p_0$, pero ya que sólo puede tomar valores enteros, es constante e igual a $n$. Así que si $p$ en ese barrio tiene un grado $n$, todas sus raíces están en $U$.

Answer 3

Me plantea esto como un problema en un curso en los campos de la región enseñé hace un rato. Uno de mis estudiantes, David Krumm, resuelto y escribió hasta aquí. El contexto de David solución es que $K$ es arbitraria normativa de campo, con algunos de extensión de la norma a la clausura algebraica de $K$. (Si $K$ es completa o, incluso, Henselian, la norma se extiende de forma exclusiva; en general no lo hace.) Luego se muestra que por cada $\epsilon > 0$ existe alguna $\delta > 0$, de modo que si se perturba cada uno de los coeficientes de su polinomio $f$ a la mayoría de los $\delta$, cada raíz de $f_{\delta}$ es wtihin $\epsilon$ de algunos raíz de $f$ y viceversa. (No creo que de esto hasta ahora, pero supongo que esto es equivalente a decir que los conjuntos de las raíces están dentro de $\epsilon$ de cada uno de los otros para la métrica de Hausdorff.) Él también muestra que si $f$ sí tiene distintas raíces, después de lo suficientemente pequeño $\delta$ lo hace $f_{\delta}$ y, a continuación, usted puede hacer coincidir las raíces en una forma canónica.

Después de resolver este problema que me veía en la literatura y encontró una docena de papeles o más en varios refinamientos de la misma, incluyendo algunos muy recientes. En el momento en que estos documentos parecen estar escondiendo de mí, pero si me parece que les voy a dar algunas referencias.

Answer 4

En el caso complejo, si ignoramos o prohibir múltiples raíces y revisión del grado: podemos suponer sin pérdida de generalidad que el coeficiente inicial es siempre 1 -- la normalización de los coeficientes es la continua transformación de coeficiente de espacio.

Ahora, entonces, los coeficientes se encuentran en un continuo inyectiva función de las raíces , podemos encontrar multiplicando lineal de los polinomios con las raíces. Por otro lado, con el coeficiente inicial fija a 1, el espacio de lo posible y los coeficientes de $\mathbb C^n/\sim$ menos de raíz de múltiples puntos de local y sólo copias de $\mathbb C^n$, por lo que la inversa de la asignación de los coeficientes de las raíces también tiene que ser continua.

Este argumento debería funcionar en cualquier algebraicamente cerrado topológico de campo (¿o él? No estoy realmente seguro de cómo salvaje topológico campo está permitido). No estoy muy seguro acerca de lo bien que se generaliza a situaciones que involucran a múltiples raíces, aunque. Los mejores argumentos para que yo pueda imaginar de inmediato son algo específico a $\mathbb C$.

Answer 5

Aquí hay un enlace a una breve nota de establecer que las raíces de un polinomio son $C^\infty$ funciones de los coeficientes utilizando el teorema de la función implícita.