Demostración del lema del número de Lebesgue

Question

Quiero demostrar el lema del número de Lebesgue:

Dejemos que $(X, d)$ sea un espacio métrico compacto. Entonces, dada una cubierta abierta $\mathcal{A}$ de $X$ existe $\delta \gt 0$ tal que para cada subconjunto de $X$ con un diámetro inferior a $\delta$ hay un elemento de $\mathcal{A}$ que lo contiene.

¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Damos un enfoque utilizando el teorema del valor extremo . La siguiente definición es un ingrediente clave de la prueba: $\newcommand{\diam}{\operatorname{diam}}$

Para cada $x \in X$ , defina $h(x) \in \mathbb R^{\geqslant 0}$ para ser el infimo de $\diam S$ sobre todo $S \subseteq X$ que satisface las siguientes condiciones:

• $x \in S$ y
• $S \nsubseteq U$ para cualquier $U \in \mathcal A$ .

Ahora estudiamos el mapa $h: X \to \mathbb R^{\geqslant 0}$ como se ha definido anteriormente. Obsérvese en primer lugar que $h(x) > 0$ por cada $x \in X$ . [La prueba se deja como ejercicio].

Lipschitzness. La idea técnica principal es demostrar que $h$ es $1$ -Lipschitz. Fijar cualquier $x, y \in X$ queremos demostrar que $h(y) \geqslant h(x) - d(x,y)$ . Además, se fija un $\varepsilon > 0$ . Según la definición de $h(y)$ existe $T \subseteq X$ tal que

• $y \in T$ ;
• $T$ no está contenida en ningún $U \in \mathcal A$ ;
• $\diam T \leqslant h(y) + \varepsilon$ .

Ahora, considere $S = T \cup \{ x \}$ . Claramente,

• $x \in S$ ;
• $S$ no está contenida en ningún $U \in \mathcal A$ ( ¿Por qué? );
• $\diam S \stackrel{\color{Red}{(!!)}}{\leqslant} \diam T + d(x,y) \leqslant h(y) + \varepsilon + d(x,y)$ . [ Ejercicio: Justificar la desigualdad marcada $\color{Red}{(!!)}$ .]

Por lo tanto, por definición de $h(x)$ podemos ver que $h(x) \leqslant h(y) + d(x,y) + \varepsilon$ . Como esto es cierto para todos los $\varepsilon > 0$ se deduce que $h(x) \leqslant h(y) + d(x,y)$ .

Recapitulación de la prueba. Desde $h$ es Lipschitz, también es continua en $X$ . Además, al ser una función continua sobre un conjunto compacto, $h$ está garantizado (por el teorema del valor extremo) que alcanza su mínimo sobre $X$ y este mínimo es estrictamente positivo. Sea $\delta > 0$ sea cualquier número estrictamente menor que $h(x)$ para todos $x \in X$ . Sólo queda comprobar que tal $\delta$ satisface los requisitos del problema. Lo dejo como un simple ejercicio.

Answer 2

Esto se conoce como el Lema del número de Lebesgue . El $\delta > 0$ prometida por ella se llama un número de Lebesgue de la cubierta $\mathcal A$ . Teniendo en cuenta la importancia de este resultado, doy dos pruebas para ello. Esta respuesta describe una prueba basada en la cubierta abierta; otra basada en mi teorema del valor extremo favorito está en otra respuesta.

Desde $\mathcal A$ es una cubierta abierta, para cada $x \in X$ hay un miembro $A_x \in \mathcal A$ tal que $x \in A_x$ . Desde $A_x$ es abierto, existe $r(x) > 0$ tal que $B(x, 2 r(x)) \subseteq A_x \in \mathcal A$ . (Obsérvese que el radio de la bola es $2 r(x)$ no $r(x)$ .) Ahora $\left\{ B(x, r(x)) \right\}_{x \in X}$ es una cubierta abierta de $X$ por lo que, por compacidad, existe un conjunto finito $S \subseteq X$ tal que $X = \bigcup _{x \in S} \ B(x, r(x)) $ . Por último, afirmamos que $\delta = \min \{ r(x) \, \colon \, x \in S \}$ funciona:

• Primero, $\delta > 0$ ya que estamos minimizando sobre un conjunto finito de números estrictamente positivos.

• Dado $y \in X$ existe $x \in S$ tal que $y \in B(x, r(x))$ . Entonces $$ B(y, \delta) \subseteq B(y, r(x)) \stackrel{\color{Red}{(\triangle)}}{\subseteq} B(x, 2 r(x)) \subseteq A_x \in \mathcal A. $$ [ Ejercicio: Explique la inclusión marcada con $\color{Red}{(\triangle)}$ .] $\qquad \square$

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Excepto por algunos cambios de anotación, esta prueba es la misma que la que señala el comentario de gary. Consulta esta página del blog .

Answer 3

De la tapa abierta $\mathcal{A}= (U_i)_{i \in I}$ obtenemos otra portada con conjuntos abiertos $(U_{i,n})$ donde

$$U_{i,n} = \{ x \in X \ | d(x, X \backslash U_i)> 1/n\}$$

Tomemos una subcubierta finita

$$\{ U_{i_1, n_1}, \ldots, U_{i_k, n_k} \}$$

Cualquier $\delta < \min \{ 1/n_1, \ldots, 1/n_k\}$ funcionará.

Answer 4

Aquí hay otra prueba:

Nota: Definición de $f_A(x)$ y la prueba de su continuidad están en aquí .