Probar $$(8k)^{8k}+(8k+1)^{8k+1}\ \ \text{ and } \ \ \ (8k+1)^{8k+1}+(8k+2)^{8k+2}$$ are never perfect squares ($k\ge 1$).
da de mod $8$ $1$ para ambos, que es un residuo cuadrático, para no resolverlo. Encuentra en AoPS.
Respuesta
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Podemos decir algo un poco más fuerte. Para $n$ un entero positivo, $n^n+(n+1)^{n+1}$ no puede ser un cuadrado perfecto si $n$ es par o $n\equiv 1 \pmod{4}$.
Incluso para $n$ asumen $n=2x>0$ y $$ (2x)^{2x}+(2x+1)^{2x+1}=u^2 \\ (2x+1)^{2x+1} = (u-(2x)^x)(u+(2x)^x) $$ Deje $A=u-(2x)^x,B=u+(2x)^x$$g=\gcd(A,B)$. Entonces $$ g\a mediados de B-A=2(2x)^x \\ g\mid (2x+1)^{2x+1} \\ \implica g \mid \gcd\left(2(2x)^x(2x+1)^{2x+1}\right)=1 $$
Por lo $A,B$ no tienen ningún factor común y $AB=(2x+1)^{2x+1}$, por lo que debemos tener $A=a^{2x+1},B=b^{2x+1}$ para los impares enteros positivos $a,b$$b\ge a+2$$ab=2x+1$. Entonces $$ \begin{align} 2(2x)^x &= b^{2x+1}-a^{2x+1} \\ &= (b-a)\left(b^{2x}+b^{2x-1}a+\cdots+ba^{2x-1}+a^{2x}\right) \\ &> (b-a)(2x+1)(ab)^x && \text{by AM-GM} \\ &> 2(2x)^x \end{align} $$ una contradicción, por lo que esto no es posible con $n$ incluso.
Para $n=1$ es fácil confirmar que $1^1+2^2=5$ no es un cuadrado.
Para $1<n\equiv 1 \pmod 4$ asumen $n=2x-1, x>2$ y $$ (2x-1)^{2x-1}+(2x)^{2x}=u^2 \\ (2x-1)^{2x-1} = (u-(2x)^x)(u+(2x)^x) $$ Como antes de que deje $A=u-(2x)^x,B=u+(2x)^x$ y de ello se sigue que $\gcd(A,B)=1$, $A=a^{2x-1},B=b^{2x-1}$ para enteros positivos impares $a,b$$ab=2x-1=n$. Desde $n\equiv 1\pmod{4}$, $a\equiv b \pmod{4}$ y por lo $b\ge a+4$.
Entonces $$ \begin{align} 2(2x)^x &= b^{2x-1}-a^{2x-1} \\ &= (b-a)\left(b^{2x-2}+b^{2x-3}a+\cdots+ba^{2x-3}+a^{2x-2}\right) \\ &> (b-a)(2x-1)(ab)^{x-1} \\ &\ge 4(2x-1)^x \\ &=4(2x)^x\left(1-\frac{1}{2x}\right)^x \\ &> 2(2x)^x \end{align} $$ donde el último paso siguiente de $\left(1-\frac{1}{2t}\right)^t>\frac{1}{2}$ todos los $t>1$, y la suposición de $x>2$. De nuevo llegamos a una contradicción, por lo que no es posible que los números de esta forma a ser cuadrados perfectos al $n\equiv 1 \pmod 4$.
