El producto de tres enteros positivos consecutivos nunca es una potencia perfecta

Question

Intento demostrar que el producto de tres enteros positivos consecutivos nunca es una potencia perfecta. Puede alguien señalar las lagunas en mi prueba y/o publicar una solución alternativa?

Sean los tres enteros positivos consecutivos $n - 1$ , $n$ y $n + 1$ y que $(n - 1)n(n + 1) = h^k, k \ge 2$ . Tenga en cuenta que $\gcd(n - 1, n) = 1$ y $(n, n + 1) = 1$ implica que $n$ debe ser un poder perfecto y de la forma $z^k$ (lo cual es evidente una vez que miramos la representación canónica de $h^k$ ).

Esto significa que $n^2 - 1$ debe ser un poder perfecto en sí mismo y de la forma $a^k$ . Si $n$ es impar, $n = 2m + 1$ para algunos $m \in \mathbb{N}$ es decir $(n - 1)(n + 1) = 2m(2m + 2) = 2^2m(m + 1) = a^k$ . Utilizando el hecho de que $(m, m + 1) = 1$ , $m$ y $m + 1$ deben ser poderes perfectos en sí mismos y así $k\leq 2$ . Junto con el hecho de que $k > 1$ deducimos $k = 2$ . Así que, $n^2 - 1 = a^2$ lo que implica $n$ no es un número natural.

Nos quedamos con el caso de que $n$ es par. Sea $n = 2t + 1$ . $(n + 1, n - 1) = 1$ ya que ambos son de (por el algoritmo euclidiano). Esto significa que $n - 1$ y $n + 1$ son poderes perfectos. Por lo tanto, dejemos $(n - 1) = b^k$ y $(n + 1) = l^k$ . Así que, $l^k - b^k = 2$ para la naturaleza $l$ y $p$ y $k>1$ . Demostraré que la ecuación diofantina no tiene soluciones. Consideremos la función $f(k) = l^k - b^k - 2$ . $f'(k) = \frac{1}{l}e^{k\log l} - \frac{1}{b}e^{k\log b}>0$ si y sólo si $e^{k(log\frac{l}{b})}>\frac{l}{b}$ . Tomando de nuevo el logaritmo, obtenemos una condición equivalente $(k - 1)\log\frac{l}{b}>0$ lo cual es cierto ya que $k>1$ y $l>b$ ya que el logaritmo es una función monotónicamente creciente.

¿Es correcta mi prueba? No dude en aportar sus propias soluciones.

Answer 1

Como has observado, $n$ y $n^2-1$ son relativamente primos, así que perfecto $k$ -enfermedades para algunos $k\gt 1$ . Sea $n=a^k$ y $n^2-1=b^k$ . Entonces $(a^2)^k=1+b^k$ . No hay muchos enteros consecutivos que sean $k$ - de las potencias.