¿Cuál es la cardinalidad de un elemento de un ultrafiltro gratis?

Question

Sea$U$ un ultrafiltro libre en un conjunto$X$.

Quiero demostrar que la cardinalidad de cada elemento$u\in U$ es equipotente a$X$. ¿Es eso cierto? ¿O carece de alguna hipótesis?

Answer 1

No, no es demostrable porque puede ser falso.

Considerar un ultrafiltro en $\Bbb N$, decir $\cal F$. Puede mostrar que $\{A\subseteq\Bbb R\mid A\cap\Bbb N\in\cal F\}$ es un ultrafiltro gratis en los números verdaderos.

La propiedad que buscas se llama ultrafilter uniforme.