Resolver ecuación $(z-i)^3=(4-i\sqrt{48})z^3$ $\mathbb C$.

Question

Necesito resolver la siguiente ecuación en $\mathbb C$.

$$(z-i)^3=(4-i\sqrt{48})z^3.$$

He intentado con forma trigonométrica, pero tener $z-i$ en el lado izquierdo es confuso, ya que me sale $(\cos\varphi+i\sin\varphi-i)^3$. En el lado derecho, tengo $8\cdot\text{cis} (3\varphi+\frac{11\pi}6)$. No estoy seguro de cómo manejar el lado izquierdo, ya que nada bueno parece provenir de la actitud ingenua de $(a+b)^3$.

Answer 1

Sugerencia: Buscar las raíces cúbicas de $4-i\sqrt{48}=8e^{-i\pi/3}$.

Answer 2

Sugerencia: tratar de encontrar $r>0$ y $\phi\in[0,2\pi)$ tal que $4-i\sqrt{48}=re^{i\phi}$. Entonces obtendrá $\left(z-i\right)^{3}=\left(r^{1/3}e^{\left(1/3\right)i\phi}z\right)^{3}$ cual le traerá aún más.

Answer 3

Indirecta: $w^3=8\frac{1-i\sqrt{3}}2$ de resolver entonces solucionar $\frac{z-i}{z}=w$