La definición de variables aleatorias discretas independientes

Question

En los libros de probabilidad, la definición de variables aleatorias discretas independientes suele darse como

Las variables aleatorias $X$ y $Y$ se dice que son independientes si $\mathbb P(X \leq x, Y \leq y) = \mathbb P(X \leq x) \mathbb P(Y \leq y)$ para dos números reales cualesquiera $x$ y $y$ , donde $\mathbb P(X \leq x, Y \leq y)$ representa la probabilidad de ocurrencia de ambos eventos $\{X \leq x\}$ y el evento $\{Y \leq y\}$ .

o

$\mathbb P(X \in A, Y \in B) = \mathbb P(X \in A) \mathbb P(Y \in B)$

Y las dos definiciones son supuestamente idénticas. Pero a menudo se omite la prueba. Aunque es intuitivamente correcto, todavía quiero ver una prueba. ¿Podría alguien mostrarme cómo se demuestra esto?

Answer 1

Estas dos definiciones son equivalentes debido a la siguiente razón. Supongo que se refiere a $A,B$ sea medible por Borel. Entonces la 2ª definición dice que $\sigma(X)$ es independiente de $\sigma(Y)$ donde $$ \sigma(X) = \{X^{-1}(B)|B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\} $$ y $$ \sigma(Y) = \{Y^{-1}(B)|B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\}. $$

Claramente, el segundo definitino implica el primero. Para ver que la primera implica a la segunda basta con recordar que $\mathcal{B}(\mathbb R)$ es el más pequeño $\sigma$ -álgebra que incluye la clase $\{(-\infty,x]|x\in\mathbb R\}$ .