Encontrar polinomios f(x),g(x) y h (x), si existen, tales que para todo x... Problema de Putnam

Question

Encontrar polinomios $f(x), g(x)$, e $h(x)$, si es que existen, de tal manera que para todos los $x$,
$\mid f(x)\mid-\mid f(x) \mid+h(x)= \begin{cases} -1, & \text{if}~x<-1 \\ 3x+2, & \text{if}~-1\leq x\leq 0 \\ -2x+2, & \text{if}~x>0\\ \end{casos}$

Este es un problema de Putnam de la Competencia de 1999, y yo ni siquiera podía abordar el problema. He visto una solución, donde se dice, parece que $-1,0$ son los puntos cruciales, así que uno puede asumir $F(x)=a|x+1|+b|x|+cx+d$ , ahora, hay muy pocas cosas que no entiendo aquí, ¿por qué debe la suma necesidad de ser lineal, en segundo lugar, ¿por qué deberíamos considerar esto?.

Otra versión de la solución de los usos de esta manera: si $r(x)$ $s(x)$ son dos funciones, entonces $\max\{r,s\}=\dfrac{r+s+|r-s|}{2}$. Aunque este parece ser el correcto para un par de casos de pruebas, ¿cómo puedo demostrar que esto es cierto, si no una prueba, entonces por lo menos entender la intuición detrás de él.

Por favor ayuda, pero por favor, no bombardear una solución con tan avanzadas teorías que no puedo captar el concepto. Gracias.

Answer 1

Prueba de $$\max\{r,s\} = \tfrac{1}{2}(r+s+|r-s|)......(1)$$

Podemos suponer que $r\ge s$.

Si $0 \le s \le r$,$(r+s+|r-s|)=r+s+r-s=2r$$\max\{r,s\}=r$, por lo que (1) es satisfecho.

Si $s \le r \le 0$,$(r+s+|r-s|)=r+s-s+r=2r$$\max\{r,s\}=r$, por lo que (1) es satisfecho.

Si $s \le 0 \le r$,$(r+s+|r-s|)=r+s+r-s=2r$$\max\{r,s\}=r$, por lo que (1) es satisfecho.

EDIT: ahora nos ocupamos de la primera parte.

Definir $F(x):=∣f(x)∣−∣g(x)∣+h(x)$. Desde

$$\frac{d F(x)}{dx}= \begin{cases} 0, & \text{if}~x<-1 \\ 3, & \text{if}~-1\leq x\leq 0 \\ -2, & \text{if}~x>0\\ \end{casos}$$

Podemos utilizar la función lineal para modelar $f(x), g(x),h(x)$.

Deje $f(x)=a(x+1), g(x)=bx, h(x)=cx+d, a\ge 0, b \ge 0$. Así $$F(x)=a|x+1|-b|x|+cx+d$$

Y obtenemos:

$$\begin{cases} (1)......a(-x-1)-b(-x)cx+d=-1, & \text{if}~x<-1 \\ (2)......a(1+x)-b(-x)+cx+d=3x+2, & \text{if}~-1\leq x\leq 0 \\ (3)......a(1+x)-bx+cx+d=-2x+2, & \text{if}~x>0\\ \end{casos}$$

Ajuste de los coeficientes de $x^0$ $x^1$ en (1),(2),(3) para ser ceros, terminamos con 6 ecuaciones para 4 parámetros de $a,b,c,d$. Afortunadamente tenemos una solución:

$$a=\frac{3}{2},b=\frac{5}{2},c=-1,d=\frac{1}{2}$$