¿Por qué es suficiente un número "$\infty$" para números complejos?

Question

¿Puede alguien darme una explicación rigurosa de por qué solo se necesita un número "$\infty$", cuando se trata de números complejos, en lugar de $2$ números $+\infty, \ -\infty$ como en el caso de los números reales?

Me dijeron que al agregar un punto $\{\infty\}$ a $\mathbb{C}$, el conjunto recién obtenido se convierte en un conjunto compacto (con respecto a la topología euclidiana, cuando $\mathbb{C}$ se ve como $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$, supongo, aunque no estoy seguro), así que supondría que en el caso de los números reales, simplemente el usar un "$\infty$" no sería suficiente para que sea compacto? (Tenga en cuenta que mi conocimiento de topología es muy limitado).

¿Hay también otras razones para solo usar un único "$\infty$"?

¿Qué sucedería o tendría sentido, si decidimos usar múltiples números de tipo $\infty$, al tratar con números complejos?

Answer 1

Existe tal cosa como una "compactificación de un punto" de $\mathbb{R}$; terminas con algo que es "como" un círculo (donde "como" puede ser muy preciso) con un punto correspondiente a $\infty$.

Esto es exactamente análogo a ver los números complejos con $\infty$ agregado como una esfera: lo haces mediante proyección estereográfica. Toma un círculo unitario y colócalo en el plano de manera que su centro esté en $(0,1)$. Es tangente al eje $x$ en $(0,0)$. A cada número real $r$ le corresponde un solo punto en este círculo, obtenido tomando la línea a través de $(r,0)$ y $(0,1)$, e identificando $(r,0)$ con el segundo punto de intersección de la línea con el círculo (siendo el primer punto $(0,1)$). Cada punto en el círculo excepto $(0,1)$ mismo corresponde a un número real, por lo que puedes pensar en el punto $(0,1)$ como correspondiente a "el punto al infinito". De hecho, esta es una forma natural de construir la recta proyectiva real.

El equivalente de esto es que puedes "agregar infinitos" al plano complejo de la misma manera que "agregamos infinitos" a la recta real, uno por cada dirección. En la recta real, tenemos la "dirección positiva" y la "dirección negativa", que conducen a un $+\infty$ y un $-\infty$, respectivamente. En el plano complejo, querrías agregar un "infinito" en cada dirección, por lo que tendrías que agregar un $+\infty_m$ por cada número real $m$ que corresponde a la dirección de $0$ a $1+mi$, y un $-\infty_m$ correspondiente a la dirección de $0$ a $-1-mi$ (en la "dirección opuesta" de $+\infty_m); además de un $+\infty_v$ correspondiente a la dirección de $0$ a $i$, y otro $-\infty_v$ para la dirección de $0$ a $-i$. Haciendo esto básicamente te da un disco cerrado.

Una tercera forma es considerar agregar un punto para cada pendiente, agregando un $\infty_m$ correspondiente a una línea de pendiente $m$, más un $\infty_v$ para las líneas verticales en el plano complejo. En este caso, lo que obtienes esencialmente es el plano proyectivo real.

Puedes hacer cualquiera de los tres, pero cada uno da un tipo diferente de estructura. Al igual que los reales extendidos (con $+\infty$ y $-\infty$) es (generalmente) el entorno "correcto" para hacer mucho cálculo, en lugar de intentar hacerlo en la recta proyectiva real, por lo que la esfera de Riemann (obtenida al agregar un solo $\infty$ a $\mathbb{C}$) es (generalmente) el entorno "correcto" para hacer análisis complejo, en lugar de intentar hacerlo en el disco cerrado o en el plano proyectivo. Es decir, puedes "hacer" cualquiera de ellos, pero la completación de "un $\infty$" de los números complejos es más útil para el análisis (y en otros entornos) que la completación de "un $\infty$ por dirección" o la completación de "un $\infty$ por pendiente". Si estás haciendo otras cosas (como geometría hiperbólica o geometría proyectiva), entonces una de las otras completaciones puede ser más útil.

Answer 2

Esto es el resultado de la topología de conjuntos de puntos. Hay una compactificación de un punto para cualquier espacio de Hausdorff localmente compacto. Puse las definiciones que necesitas (para un enfoque conciso pero riguroso) abajo como un comienzo para algunas palabras en caso de que quieras ir a los detalles. ¡No te preocupes si te asusta! Si estudias matemáticas, todo esto se aclarará con el tiempo. Solo tuve ganas de escribir. Todo esto está en las siguientes notas; deberías ir allí para una prueba totalmente desarrollada del resultado (p. 60, 3.7.1): http://folk.uio.no/rognes/kurs/mat4500h10/topology.pdf

La afirmación del teorema es la siguiente:

Compactificación de un punto: Sea $X$ un espacio de Hausdorff localmente compacto, y $Y=X\cup\{\infty\}$. Dale a $Y$ la topología que consiste en los conjuntos abiertos de $X$ junto con, para cada subconjunto compacto $K$ de $X$, conjuntos de la forma $Y-K$. Entonces $Y$ es un espacio de Hausdorff compacto. La prueba está en las notas anteriores.

Espacio topológico: Una topología en un conjunto $X$ es una colección $T$ de subconjuntos de $X$ llamados conjuntos abiertos tal que 1) $T$ contiene a $X$ y al conjunto vacío $\emptyset$, 2) $T$ está cerrado bajo uniones arbitrarias, y 3) $T$ está cerrado bajo intersecciones finitas. Decimos que un subconjunto de $X$ es cerrado si su complemento es un conjunto abierto (nota que $X$ y $\emptyset$ son ambos subconjuntos abiertos y cerrados de $X). Llamamos al par $(X, T)$ un espacio topológico, y a menudo lo denotamos solo como $X$ y pensamos en la topología $T$ como dada.

Aquí cerrado bajo intersecciones finitas significa que si tomas una colección finita de conjuntos abiertos, su intersección es un conjunto abierto. Similarmente para cerrado bajo uniones arbitrarias. Esto es muy diferente de lo que llamamos un subconjunto cerrado de $X$.

Vecindario: Si $x\in X$ decimos que un vecindario de $x$ es cualquier subconjunto de $X$ que contiene un conjunto abierto que contiene a $x$. (Ten en cuenta que algunos autores definen un vecindario de $x$ simplemente como un conjunto abierto que contiene a $x$; a estos los llamamos vecindarios abiertos.)

Hausdorff: Decimos que un espacio $X$ es Hausdorff si para cada par de puntos distintos $x,y$, existen vecindarios abiertos y disjuntos de $x$ y $y$.

Compacidad: Una cubierta abierta de $X$ es una colección de subconjuntos abiertos de $X$ tal que su unión es todo $X$ (nota que con estas definiciones $T$ es la mayor cubierta abierta posible de $X$). Un espacio $X$ se llama compacto si cada cubierta abierta tiene una subcubierta abierta finita.

Subespacios: Querremos hablar sobre subconjuntos compactos $K$ de $X$, y podemos verlos como subespacios de $X$ en la topología de subespacio. Es decir, el conjunto $K$ junto con la topología inducida por $X$; los conjuntos abiertos de $K$ son conjuntos de la forma $U\cap K$ con $U$ abierto en $X$.

La compacidad, como habrás imaginado, es una propiedad muy agradable. Se supone que captura nuestra intuición de ser cerrado, pequeño y limitado. De hecho, cualquier subconjunto compacto de un espacio de Hausdorff es cerrado en el sentido técnico. Además, cualquier subconjunto compacto de un espacio métrico tiene un diámetro bien definido. También proporciona una condición de finitud que puede ayudarnos de muchas maneras, y tiene algunas propiedades formales agradables: el producto de una familia arbitraria de espacios compactos (con la topología del producto) es compacto (Tychonoff); la imagen bajo un mapa continuo de un espacio compacto, es compacta.

Un intervalo cerrado y acotado de la recta real es compacto, ¡y (para algunos, más importante) todas las esferas son compactas!

Compacidad local: Decimos que un espacio $X$ es localmente compacto en $x\in X$ si hay un vecindario compacto de $x$ (es decir, hay un subconjunto compacto $K\subseteq X$ y un subconjunto abierto $V\subseteq K$, con $x\in V\subseteq K\subseteq X$).

Answer 3

Hay dos tipos principales de infinito utilizados en el análisis complejo de una sola variable. Pero primero, permítanme reformular la pregunta. Cuando hablas de "tipos de infinito", en realidad estás hablando de diferentes compactificaciones útiles con el propósito del análisis complejo. La razón por la que uno se conforma con la compactificación de un punto del plano complejo es que te da una variedad compleja: la esfera de Riemann. Por lo tanto, permite descripciones convenientes de cosas como transformaciones de Möbius y funciones meromorfas.

Pero otras compactificaciones naturales aparecen en el análisis complejo, siendo la principal la del disco de Poincaré. La idea principal es considerar que "los infinitos" consisten en direcciones asintóticas de curvas "que se dirigen hacia el infinito". Esto se puede aplicar al plano complejo en sí mismo, pero es estándar aplicarlo a $\{ z \in \mathbb C : |z|<1 \}$, el disco abierto. Desde esta perspectiva, "el infinito" son todos los puntos de la forma $\{z \in \mathbb C : |z|=1\}$ y el disco de Poincaré es $\{ z \in \mathbb C : |z|\leq 1 \}$. Este es un entorno natural para la geometría hiperbólica, si tu objetivo es expresarlo en el lenguaje del análisis complejo.

Answer 4

Adyacente a un solo $\infty$ es particularmente agradable para $\mathbb C$ porque obtienes la esfera de Riemann, y las funciones meromorfas en $\mathbb C$ se extienden a mapas de esta esfera a sí misma. Pero a veces quieres hablar sobre, por ejemplo, secuencias que van a $\infty$ en una dirección particular.

La compactificación de un punto de $\mathbb R$ funciona perfectamente bien, de hecho hay una compactificación de un punto de cualquier espacio localmente compacto, Hausdorff no compacto.

Answer 5

Los números reales también tienen una compactificación de $1$ punto, la recta proyectiva real $\mathbb{RP}^1$, que es homeomorfa a un círculo. El plano tiene otras compactificaciones incluyendo $\mathbb{RP}^2$ que tiene un $\mathbb{RP}^1$ añadido en el infinito.

La compactificación de $1$ punto es particularmente natural para el plano porque $\mathbb{R}^2$ (y $\mathbb{C}$) tiene un extremo topológico. Si $S$ es compacto, $\mathbb{R}^2 - S$ tiene $1$ componente conexa no acotada. En contraste, $\mathbb{R}$ tiene $2$ extremos. También es bueno que puedas extender las estructuras de variedad, suave y compleja de $\mathbb{C}$ a la esfera de Riemann.