¿Qué hace $\Bbb{Z}/(2) \times \Bbb{Z}/(3) \times \dots$?

Question

Tomar el producto de anillos $M = \Bbb{Z}/(2) \times \Bbb{Z}/(3) \times \dots$ sobre los números primos o en general tomar cualquier conjunto infinito de módulos cociente del anillo $R$ y forman su producto. Es cierto que una copia de $R$ se encuentra en el producto. Así $\Bbb{Z}$ se encuentra en el producto infinito, M.

¿Cualquiera puede ser dicho más sobre $M$? ¿Podemos identificar todos los puntos de $M$ que no se encuentran en la imagen isomorfa de $\Bbb{Z}$, en un "punto en el infinito" y también introducir así $\Bbb{Z} \cup \{\infty\}$, que $\Bbb{Z} \cup \{\infty\} \approx M / \sim$ de alguna manera?

Answer 1

$M$ es un poco demasiado grande. El mapa de $\mathbb{Z} \to M$ envía un entero a sus residuos $\bmod n$ todos los $n$, y al $n_1 | n_2$ eres que no necesiten de la compatibilidad entre el residuo $\bmod n_1$ y el residuo $\bmod n_2$. Una mejor versión de $M$ requiere esta compatibilidad; lo que se obtiene es la profinite la finalización de los enteros $\widehat{\mathbb{Z}}$. Un sentido preciso en que este es mejor es que es natural (compacto Hausdorff) topología con respecto a la cual se $\mathbb{Z}$ es densa.

Hay muchos (de hecho, una cantidad no numerable de puntos en $\widehat{\mathbb{Z}}$ no mentir en $\mathbb{Z}$ y no me parece que sea razonable para identificarlos. De hecho, $\widehat{\mathbb{Z}}$ es el producto a través de todas las $p$ de la $p$-ádico enteros.