Cómo probar que los espacios de $L^p$ son infinitos dimensiones

Question

Es bien sabido que (dado un % de espacio de medida $(S,\mathcal A,\mu)$y $1\le p\le\infty$) el % de espacio de Banach $L^p(S,\mathcal A,\mu)$tiene dimensión infinita.

¿Hay una manera fácil de la prueba de esta afirmación (o una referencia adecuada (preferiblemente un libro) donde puedo encontrar este resultado)?

Answer 1

Como Norbert mencionado, esto simplemente no es cierto si $S$ es finito.

En general, supongamos que usted puede encontrar una colección de countably infinito de pares distintos conjuntos medibles $\{ A_n:n\in \mathbb{N}\}$, cada una con finito de medida positiva. A continuación, la colección de $\{ 1_{A_n}:n\in \mathbb{N}\}$ es un infinito conjunto linealmente independiente contenida en $L^p$. Por qué? Primero de todo, el hecho de que cada una de las $A_k$ ha finito medida garantiza que $1_{A_k}$ es un elemento de $L^p$. Como para la independencia lineal, supongamos que tenemos algunos finito combinación lineal de estas funciones es igual a $0$: $$ a_11_{A_{n_1}}+\cdots +a_m1_{A_{n_m}}=0. $$ Ahora, multiplicar esta ecuación por $1_{A_{n_k}}$ e integrar. Usted encontrará que $$ a_k\mu (A_{n_k})=0, $$ y, por lo tanto, debido a $\mu (A_{n_k})>0$,$a_k=0$, lo que demuestra independencia lineal.

Answer 2

$l^{p}$ Incrusta isomorphically en $L^{p}$, y es fácil comprobar que $l^{p}$ es infinitivo dimensional.