Su afirmación es cierta. De hecho, siempre se pueden cubrir los puntos mediante un cuadrilátero o hexágono con área como máximo $3$ .
Dado cualquier $n$ puntos $v_1, v_2,\ldots, v_n \in \mathbb{R}^2$ tal que todos los triángulos $\triangle_{v_iv_jv_k}$ tienen área como máximo $1$ .
Dejemos que $P = \text{co}(v_1,v_2,\ldots,v_n)$ sea su casco convexo. Sea $A, B, C \in \{ v_i \}$ sean tres vértices de $P$ para que $\verb/Area/(\triangle_{ABC})$ es mayor. Dado que la transformación afín preserva la convexidad y la relación de área, sólo necesitamos estudiar el caso en que $\triangle ABC$ es un triángulo equilátero de área $1$ .
Dejemos que $A'$ sea la imagen especular de $A$ con respecto al segmento $BC$ . Definir $B'$ , $C'$ de manera similar. $A', B', C'$ forma un equilátero triángulo de área $4$ . Desde $P$ es convexo y $\triangle ABC$ es el mayor triángulo dentro de $P$ tenemos $P \subset \triangle A'B'C'$ .
Si $P$ se encuentra completamente dentro de uno de los cuadriláteros $ABA'B'$ , $BCB'C'$ o $CAC'A'$ entonces podemos cubrir $P$ sea un cuadrilátero de área $3$ . Si no es así, elija el punto $D, E, F$ entre los vértices de $P$ tal que
- $D \subset \triangle AC'B$ con $d$ la distancia entre $D$ y el segmento $AB$ más grande.
- $E \subset \triangle BA'C$ con $e$ la distancia entre $E$ y el segmento $BC$ más grande.
- $F \subset \triangle CB'A$ con $f$ la distancia entre $F$ y el segmento $CA$ más grande.
A continuación se muestra una figura que ilustra la geometría
$\hspace0.5in$ ![Covering a convex polygon by hexagon]()
Considere el hexágono $ADBECF$ es un polígono convexo y su área es igual a $$\verb/Area/(ABCDEF) = 1 + \frac{d+e+f}{h}$$ donde $h = \sqrt[4]{3}$ es la altura de $\triangle ABC$ .
Está claro que $\triangle ABC$ es el triángulo más grande dentro del hexágono. Existe un teorema que afirma que el cociente del área del triángulo mayor dentro de un hexágono convexo es al menos $\frac{4}{9}{}^{\color{blue}{[1]}}$ . Esto lleva a
$$1+\frac{d+e+f}{h} \le \frac{9}{4} \quad\implies\quad \frac{d+e+f}{3h} \le \frac{5}{12}$$
Construir
- una línea a través de $D$ en paralelo a $AB$ y que se cruce con $AC'$ en $A_c$ , se cruzan $BC'$ en $B_c$ .
- una línea a través de $E$ en paralelo a $BC$ y que se cruce con $BA'$ en $B_a$ , intersección $CA'$ en $C_a$ .
- una línea a través de $F$ en paralelo a $CA$ y que se cruce con $AB'$ en $A_b$ , intersección $CB'$ en $C_b$ .
Es fácil ver $P$ se encuentra en el hexágono $A_cB_cB_aC_aC_bA_b$ con el área
$$\begin{align} \verb/Area/(A_cB_cB_aC_aC_bA_b) &= 4 - \left(1-\frac{d}{h}\right)^2 - \left(1-\frac{e}{h}\right)^2 - \left(1-\frac{f}{h}\right)^2\\ &\le 4 - 3\left(1 - \frac{d+e+f}{3h}\right)^2 \le 4 - 3\left(1 - \frac{5}{12}\right)^2 = \frac{143}{48} < 3 \end{align} $$
Combinando estos, encontramos que siempre es posible cubrir $P$ y por lo tanto los puntos $v_1, \ldots, v_n$ por un cuadrilátero o hexágono con área $\le 3$ .
Su afirmación es una consecuencia trivial de esto.
Notas/Referencias
- $\color{blue}{[1]}$ - Fleischer, R., Mehlhorn, K., Rote, G., Welzl, E., & Yap, C.-K. (1992).
Aproximación interna y externa simultánea de formas .
Algorithmica, 8, 365-389
