El número de progresiones aritméticas de 3-término en el conjunto$\{1,2,3,4,\dots, 2n\}$

Question

¿De cuántas maneras pueden seleccionarse tres números distintos del conjunto$\{1,2,3,4,\dots,2n\}$ de modo que los números estén en progresión aritmética creciente?

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Progreso : La diferencia común para los números seleccionados puede estar entre 1$2n/3$%. Así que parece que necesito trabajar para cada diferencia común de$1$ a$2n/3$. ¿Está bien?

Answer 1

Solución: El segundo término del AP está determinado enteramente por los otros dos términos. Pero el primer término$a$ y el tercer término$a+2d$ tienen la misma paridad (añadiendo el número par$2d$ no Cambiar su paridad).

Si ambos son impares, pueden seleccionarse en$\dbinom{n}{2}$ maneras.

Si ambos son pares, se pueden seleccionar en$\dbinom{n}{2}$ formas.

Añadiéndolos, obtenemos$n(n-1)$.

Créditos: Gracias a Mark Bennet por ayudarme con esta solución.

Answer 2

El número de progresiones $\{a_1,a_2,a_3\}$ tal que $a_2=k$ es:

• $k-1$ si $2\leq k\leq n$
• $2n-k$ si $n+1\leq k\leq 2n-1$

por lo que el número total es de $$S=\sum_{k=2}^n (k-1)+\sum_{k=n+1}^{2n-1} (2n-k)$$

La primera suma es $1+2+\ldots+(n-1)=\frac{n^2-n}2$, y la segunda suma es la misma, pero en el orden inverso. Esto le da $$S=n^2-n$$

Otra solución:

Podemos contar cuántas AP con diferencia $d$ hay. Si el primer término es $1$, la última es $1+2d$, por lo que hay $2n-(1+2d)+1=2n-2d$ de las AP. Pero $d$ puede ser cualquier número entero de$1$$n-1$, por lo que $$S=\sum_{d=1}^{n-1}(2n-2d)=\sum_{k=1}^{n-1} 2k=n^2-n$$

Answer 3

Esta es una extensión de pista.

Si usted agregue $2n+1$ para el conjunto, se obtiene algo más de APs, pero tenga en cuenta que el extra de APs usted obtiene todas incluyen $2n+1$ - por ejemplo, $[2n-1, 2n, 2n+1]$ es añadido, con la diferencia de $1$ $[2n-3, 2n-1, 2n+1]$ con diferencia $2$. $[1, n+1, 2n+1]$ también se añade, con la diferencia de $n$.

Usted puede contar con estos, y también los que usted consigue cuando usted, además, agregar $2n+2$ para el conjunto.

También consulte con pequeños valores de lo que se añadió para asegurar que sus cálculos son correctos. Con un poco de pruebas debe ver lo que está sucediendo.