Yo estoy haciendo el problema 3.24 de Movimiento Browniano y Procesos Estocásticos por Karatzas y Shreve. Hay dos partes específicas preocupante mí, necesito un poco de ayuda para ver qué hacer. Aquí está el problema:
Supongamos que $ \{ X_t, \mathcal{F}_t \ : \ 0 \leq t < \infty \}$ es un derecho-continuo submartingale y $T$ es un tiempo de paro $ \{ \mathcal{F}_t \} $. A continuación, $\{ X_{T \ \wedge \ t} , \mathcal{F}_t \ : \ 0 \leq t < \infty \} \ $ es de nuevo un submartingale.
Para probar esto, necesito mostrar que
i) $X_{T\wedge t}$ $\mathcal{F}_t$- medibles para todos los $t\geq 0$,
ii) $E[\ |X_{T\wedge t}|\ ] < \infty$ todos los $t\geq 0$,
iii) $E[X_{T\wedge t}| \mathcal{F}_s] \geq X_{T\wedge s}$ todos los $t>s\geq 0$.
Elemento i se hace. Artículo ii y iii son parcialmente hecho y es en estos dos artículos que necesito ayuda.
En el punto ii, podemos escribir $$E[\ |X_{T\wedge t}|\ ] = \int |X_{T\wedge t}| \ dP = \int_{ \{ 0\leq T \leq t \} } |X_{T\wedge t}| \ dP + \int_{ \{ t< T \} } |X_{T\wedge t}| \ dP = $$ $$ = \int_{ \{ 0\leq T \leq t \} } |X_T| \ dP + \int_{ \{ t< T \} } |X_t| \ dP \leq \int_{ \{ 0\leq T \leq t \} } |X_T| \ dP + \int |X_t| \ dP =$$ $$ = \int_{ \{ 0\leq T \leq t \} } |X_T| \ dP + E[\ |X_t|\ ]$$
Sabemos $E[\ |X_t|\ ] < \infty$ $X_t$ es un submartingale, pero ¿qué podemos hacer acerca de $\int_{ \{ 0\leq T \leq t \} } |X_T| \ dP$ ? Sé $\int_{ \{ 0\leq T \leq t \} } |X_T| \ dP \leq \int \sup_{ 0\leq u \leq t } |X_u| \ dP = E[\ \sup_{ 0\leq u \leq t } |X_u|\ ]$, pero no sé qué hacer desde aquí.
En el punto iii, mostrando que $E[X_{T\wedge t}| \mathcal{F}_s] \geq X_{T\wedge s}$ es equivalente a demostrar que $E[X_{T\wedge t}\cdot\textbf{I}_A] \geq E[X_{T\wedge s}\cdot\textbf{I}_A]$ todos los $A\in\mathcal{F}_s$. Con esto en mente, veamos $A\in\mathcal{F}_s$ y la nota que
$$E[X_{T\wedge t}\cdot\textbf{I}_A] \geq E[X_{T\wedge s}\cdot\textbf{I}_A] \iff \int_A X_{T\wedge t}\ dP \geq \int_A X_{T\wedge s}\ dP \iff$$
$$\iff \int_{A\cap\{ 0\leq T\leq t \}} X_{T\wedge t}\ dP + \int_{A\cap \{ t< T\}} X_{T\wedge t}\ dP \geq \int_{A\cap\{ 0\leq T\leq s \}} X_{T\wedge s}\ dP + \int_{A\cap \{ s< T\}} X_{T\wedge s}\ dP \iff$$
$$\iff \int_{A\cap\{ 0\leq T\leq t \}} X_T\ dP + \int_{A\cap \{ t< T\}} X_t\ dP \geq \int_{A\cap\{ 0\leq T\leq s \}} X_T\ dP + \int_{A\cap \{ s< T\}} X_s\ dP .$$
Ahora me gustaría venir para arriba con un ingenioso argumento para demostrar que la última desigualdad se cumple. Por desgracia, nada viene a mi mente y no puedo pensar en otra forma de abordar este problema.
Muchas gracias!
