Estoy trabajando en mi tesis de maestría y la necesidad de manejar algunos teoría espectral del operador de Laplace en compacto de Riemann colectores y especialmente en la esfera. Mientras investigaba esencial auto-adjointness me encontré con el siguiente problema.
*Problema*$\quad$ En un compacto de Riemann colector $M$ vamos $$\Delta=\operatorname{div}\operatorname{grad}$$ and let $f\en L^2(M)$ be such that $(f, u-\Delta u)=0$ for every $u \C^{\infty}(M)$. Prove that $f=0$.
Creo que la afirmación es verdadera, ya que la condición $(f, u-\Delta u)=0$ significa exactamente eso $f$ es una distribución de la solución de la ecuación elíptica $-\Delta f + f=0$, y así espero que sea un $H^2_{\text{loc}}$ función (ver Teorema 2.1 de Berezin - Shubin del libro). Desde $M$ es compacto, esto debe implicar que $f\in H^1(M)$, de modo que la integración por partes obtenemos $\lVert f \rVert_{H^1}^2=(f, f)+(\operatorname{grad}f, \operatorname{grad}f)=0$.
Por desgracia Teorema 2.1 anterior se establece en un abrir subconjunto del espacio Euclídeo y no sé si es aplicable literalmente en un colector de Riemann. Puede que me apunte a alguna referencia sobre esto?
Gracias.
