En primer lugar, $c_1(E) \neq 0$ no implica $w_2(E) \neq 0$. Por ejemplo, pensando en $S^2$ como $\mathbb{CP}^1$, $TS^2$ es un haz vectorial complejo y $c_1(TS^2) = e(TS^2) \neq 0$ (de hecho, $\langle e(TS^2), [S^2]\rangle = \chi(S^2) = 2$). Sin embargo, $w_2(TS^2) = w_2(TS^2\oplus\varepsilon^1) = w_2(\varepsilon^3) = 0.
Si $\operatorname{rank}_{\mathbb{C}} E = 1$, entonces la respuesta a tu pregunta es no.
Sea $\sigma$ una sección nunca nula de $E$. Entonces hay un isomorfismo de haces $E \to S^2\times\mathbb{C}$ dado por $v_x \mapsto (x, \lambda_v)$ donde $\lambda_v \in \mathbb{C}$ es el único número complejo que satisface $v_x = \lambda_v\sigma(x)$. Así que $E$ es trivial y por lo tanto $c_1(E) = 0.
Nota, el argumento anterior funciona para cualquier base. En general, un haz de línea complejo es trivial si y solo si el haz real subyacente de rango dos es trivial. Sin embargo, esto ya no es cierto para los haces de línea holomórficos, es decir, existen haces de línea holomórficos no triviales que son triviales como haces de línea complejos, ver aquí por ejemplo.
Para $\operatorname{rank}_{\mathbb{C}} E > 1$, la respuesta a la pregunta que planteaste es sí.
Considera el haz vectorial complejo de rango dos $E = TS^2\oplus\varepsilon^1_{\mathbb{C}}$. Observa que $c_1(E) = c_1(TS^2) \neq 0$; en particular, $E$ no es trivial como haz vectorial complejo. Sin embargo, como haz real de rango cuatro, $E = TS^2\oplus\varepsilon^2_{\mathbb{R}} = \varepsilon^4_{\mathbb{R}}$, es decir, $E$ es trivial. Al sumar directamente con $\varepsilon^k_{\mathbb{C}}$ en lugar de $\varepsilon^1_{\mathbb{C}}`, obtenemos ejemplos para cualquier rango complejo mayor que uno.
La razón por la que existe tal ejemplo es porque $TS^2$ es un haz real establemente trivial, pero no es un haz complejo establemente trivial. Más en general, para $g \neq 1$, $E = T\Sigma_g\oplus\varepsilon^1_{\mathbb{C}}$ tiene una clase de Chern distinta de cero pero es trivial como haz real.
