Muestran que la desigualdad$(x-3)^4+(y-3)^4+(z-3)^4\ge 193$

Question

Permita que$x,y,z\in R$, y tal$$xy+yz+xz=-1$ $ demuestre que$$(x-3)^4+(y-3)^4+(z-3)^4\ge 193$ $

Parece que el uso de la desigualdad de Cauchy-Schwarz para resolverlo? Pero intento alguna vez no puede obtener esta respuesta, incluso ahora no puedo encontrar esta igualdad cuando$=$?

Answer 1

Mathematica no es feliz (a Menos que yo estoy ciego y perdido un evidente error tipográfico). $$ x := -\frac{485}{2048} \\ y := -\frac{5}{2048} \\ z := \frac{4196729}{1003520} $$ A continuación, $xy + yz + zx = -1$ (Ver WA). Sin embargo $$ (x-3)^4 + (y-3)^4 + (z-3)^4 = 192.98312371 < 193 $$ Ver WA.

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También parece que Mathematica FindInstance no puede refutar su afirmación en $\mathbb{Z}$, por lo que podría ser cierto en este conjunto.

Answer 2

Deje$x+y+z=3u$,$xy+xz+yz=3v^2$, donde$v^2$ puede ser negativo, y$xyz=w^3$.

Por lo tanto, la expresión$\sum\limits_{cyc}(x-3)^4$ es una expresión lineal de$w^3$,

Que dice que obtiene un valor mínimo para un valor extremal de$w^3$,

Que ocurre por igualdad caso de dos variables.

Dejar $y=x$. Por lo tanto,$z=-\frac{1+x^2}{2x}$ y$$\min_{xy+xz+yz=-1}\sum_{cyc}(x-3)^4=\min\left(2(x-3)^4+\left(-\frac{1+x^2}{2x}-3\right)^4\right)=191.779...,$ $ que ocurre para$x_1=-0.12...$, donde$x_1$ es una raíz negativa de la siguiente ecuación. ps