Para encontrar el número de $2e^-$ integral $\left<AB|CD\right>$ cuando, es útil en primer lugar, encontrar el número de $1e^-$ integral $\left<A|B\right>$.
Si $n$ es el número de funciones de base, podemos encontrar el número de $1e^-$ integrales como ${n+1}\choose{2}$. Esto se deriva de la fórmula general para las combinaciones con reemplazo: $${n+k-1}\choose{k}$$ where $n$ is the selection pool and $k$ es cómo muchos están siendo elegido. Combinaciones con reemplazo son necesarios para asegurar que no se olvide de contar los casos donde los dos Gaussianas son los mismos.
Como un aparte, esto sólo es cierto para el real funciones de base, ya que sólo podemos decir que el orden no importa (lo que hacemos cuando nos calcular el número de combinaciones), porque todas las funciones de base son explícitamente real y por lo tanto el complejo conjugado es igual a la original. Esto explica uno de mis propias preguntas en el sitio respecto a la razón por la que no utiliza comúnmente el complejo de funciones de base.
Para este caso en particular ($n=100$), nos encontramos con que el único número de $1e^-$ integrales es $${{101}\choose{2}}=\frac{(101)*(100)}{2}=5050$$
Entonces, ¿cómo esta nos permite encontrar el número de $2e^-$ integrales? Así, para el $1e^-$ integrales, todo lo que hicimos fue encontrar el número de pares de base real de las funciones. Así, por un $2e^-$ integral, se podría esperar que todo lo que tenemos que hacer es encontrar el único pares de la función de base de pares. Esto termina siendo exactamente el caso (de nuevo, sólo para verdaderos funciones de base).
Para encontrar los pares de pares, tenemos que volver a encontrar el número de combinaciones con el reemplazo, pero en vez de muestreo de la $100$ funciones de base, ahora estamos en el muestreo de la $5050$ función de base de pares. Necesitamos una vez más la sustitución de la cuenta por el hecho de que podemos elegir el mismo par dos veces. Así, obtenemos: $${{5051}\choose {2}} =\frac{(5051)*(5050)}{2}=12,753,775$$ as the number of unique $2e^-$ integrales. Este método evita la comprobación de casos específicos (i.e ninguna de las funciones de base son los mismos, los dos son la misma, etc.) y le da una forma general para hallar el número único integrales para cualquier cantidad real de funciones de base.
Edit: Para mostrar de manera explícita por qué el complejo de funciones de base no se usan, se puede observar el mismo problema, pero asumir todas las funciones son complejas en su lugar. En bra-ket de la notación, el sujetador es el complejo conjugado de la función en el interior, así que para $\left<A|B\right>$, el orden importa si $A$ $B$ son complejos. Por lo que encontrar el número de pares requiere encontrar el número de permutaciones en lugar de combinaciones. Esto sólo requiere un sutil cambio en el cálculo original $$2!{101\choose2}= (101)*(100)=10100$$ So, we now have twice as many unique pairs, so there are twice as many $1e^-$ integrales.
La ecuación de la $2e^-$ integrales sigue siendo el mismo, pero con el nuevo importe de los únicos pares de lleno en. $${{10101}\choose {2}} =\frac{(10101)*(10100)}{2}=51,010,050$$ We still need to do a combination for the pairs because regardless of whether the functions are complex or real $\a la izquierda<AB|CD\right>=\left<unidad de CD|AB\right>$ via exchange of electron labels. So using complex basis functions would double the number of $1e^-$ integrals and nearly quadruple the number of $2e^-$ integrales.
