¿Por qué el límite$\displaystyle\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{2x}{x^2+x+y^2}$ no existe?

Question

No entiendo cómo este límite no existe.

\begin{align*} \lim_{(x,y) \to (0,0)}\dfrac{2x}{x^2+x+y^2}&= \lim_{r \to 0}\dfrac{2r\cos\theta}{r^2\cos^2\theta+r\cos\theta+r^2\sin^2\theta}\\ &=\lim_{r \to 0}\dfrac{2r\cos\theta}{r^2+r\cos\theta}\\ &=\lim_{r \to 0}\dfrac{2\cos\theta}{r+\cos\theta} \\ &= 2 \end{align*}

Me parece que el límite va a$2$. Pero por WolframAlpha , el límite no existe. Cómo funciona ?

Gracias por adelantado.

Answer 1

El límite no existe. Fijar$y=0$; Entonces la expresión límite es$$\lim_{x \to 0} \frac{2}{x+1} = 2$ $

Fijar$x=0$; Entonces la expresión límite es idéntica$$\lim_{y \to 0} \frac{0}{y^2} = 0$ $

Answer 2

Las otras respuestas dan excelentes razones por las que el "límite no existe", pero aquí hay más de una razón "por" su lógica se rompe en la última línea (la que responde a su pregunta "¿Cómo funciona eso?"):

En la última línea, deberíamos escribir

$$\lim_{r\to0}\dfrac{2\cos\theta}{r+\cos\theta}=\dfrac{2\cos\theta}{\cos\theta}=2 \text{, if }\cos\theta\neq0.$$

Porque en el último paso, por 'cancelar' $\cos\theta$ desde el numerador y el denominador, usted quiere asegurarse de que usted no está dividiendo por cero. Desde $\cos\theta=0$ es una clara posibilidad, entonces tenemos que considerar como un caso aparte.

Según lo sugerido por @Patrick, podemos obtener este escenario mediante el establecimiento $\theta=\tfrac{\pi}2$, dando lugar a la sub-caso

$$\left.\lim_{r\to0}\dfrac{2\cos\theta}{r+\cos\theta}\right|_{\theta=\tfrac{\pi}2}=\lim_{r\to0}\dfrac{0}{r+0}=0,$$

por lo tanto demostrar que podemos obtener una respuesta diferente a la de límite, por lo que no existe.

Answer 3

Tampoco has controlado$\theta$.