Los Monty Hall problema

Question

Yo estaba viendo la película 21 de ayer, y en los primeros 15 minutos o así que el personaje principal es en un salón de clases, se está pidiendo un "truco" de la pregunta (en el sentido de que el maestro cree que él va a obtener la respuesta incorrecta) que gira en torno a la probabilidad teórica.

La pregunta va un poco de algo como esto (estoy parafraseando, pero los números son exactos):

Estás en una demostración del juego, y está dado tres puertas. Detrás de una de las puertas es un coche nuevo, detrás de las otras dos son burros. Con cada puerta tiene un $1/3$ de probabilidades de ganar. Que la puerta escogerías?

El personaje elige Una, ya que las probabilidades son de todos por igual en su favor.

El maestro entonces se abre la puerta C, revelando un burro para estar detrás de allí, y le pregunta si le gustaría cambiar de su elección. En este punto también explica que la mayoría de la gente cambie sus opciones de miedo; paranoia; la emoción y tal.

El personaje no cambia su respuesta a la B, pero debido a que (según la película), las probabilidades están ahora en favor de la puerta B con un $1/3$ probabilidad de ganar si Una puerta se recogen y se $2/3$ si la puerta B es recogido.

Lo que no entiendo es cómo la eliminación de la final de la puerta aumenta las probabilidades de ganar si la puerta B es recogido sólo. Seguramente la división debe ser 50/50 ahora, como la eliminación de la final de la puerta no le dice nada acerca de los dos primeros?

Supongo que estoy equivocado; como realmente me gustaría pensar que no iba a hacer una película que matemáticamente incorrecta, pero me parece que no puede entender por qué este es el caso.

Así que, si alguien me podria decir si estoy en lo correcto; o si no, explique por qué, yo estaría muy agradecido.

Answer 1

Este problema, conocido como el de Monty Hall problema, es famoso por ser tan extraño y contrario a la intuición. De hecho, es mejor cambiar las puertas, y esto no es difícil de probar. En mi opinión, la razón parece tan extraño la primera vez que uno (incluido yo) encuentros es que los seres humanos son simplemente malo a pensar acerca de la probabilidad. Lo que sigue es esencialmente cómo han justificado la conmutación de puertas a mí mismo a través de los años.

En el inicio del juego, se le pedirá que elija una sola puerta. Hay un $1/3$ de probabilidad de que usted ha elegido correctamente, y un $2/3$ de probabilidad de que usted está equivocado. Esto no cambia cuando una de las dos puertas que no se recuperó se abre. El segundo tiempo es de que usted está eligiendo entre si su primera idea fue la de la derecha (el que tiene la probabilidad de $1/3$) o mal (la probabilidad de $2/3$). Claramente es más probable que su primera suposición era incorrecta, por lo que el interruptor de las puertas.

Esto no sentó bien a mí cuando escuché por primera vez. Para mí, parecía que la situación de elegir entre dos puertas que tiene un cierto tipo de simetría-las cosas están detrás de una puerta o de la otra, con igual probabilidad. Dado que este no es el caso aquí, me llevó a preguntar donde la asimetría viene de? ¿Qué causa una puerta para ser más probable que mantenga el premio que el otro? La clave es que el anfitrión sabe que la puerta tiene el premio, y se abre una puerta que él sabe que no tiene el premio detrás de ella.

Para aclarar esto, digamos que usted elija puerta $A$, y a continuación se le pedirá que elija entre las puertas de $A$ $B$ (sin puertas se han abierto todavía). No hay ninguna ventaja para el cambio en esta situación. Dicen que se le pide que elija entre el$A$$C$; de nuevo, no hay ninguna ventaja en el cambio. Sin embargo, lo que si se le pide que elija entre a) el premio detrás de la puerta $A$ y b) la mejor de las dos premios detrás de la puerta $B$$C$. Claramente, en este caso es en su beneficio el interruptor. Pero esto es exactamente el mismo problema con el que se ha confrontado con! Por qué? Precisamente porque el host siempre se abre (por lo tanto, se deshace de la puerta que usted no escoge el que tiene el peor premio detrás de ella. Esto es a lo que me refiero cuando digo que la asimetría en la situación viene desde el conocimiento de la hostia.

Answer 2

Para entender por qué sus probabilidades de aumentar cambiando puerta tomemos un ejemplo extremo de primera. Decir que hay un $10000$ puertas. Detrás de uno de ellos es un coche y detrás el resto son burros. Ahora, las probabilidades de elegir un coche es $1\over10000$ y las probabilidades de elección de un burro se $9999\over10000$. Decir de que usted escoja al azar de la puerta que llamamos X por ahora. De acuerdo a las reglas del juego, el anfitrión de la demostración de ahora se abre todas las puertas, excepto dos, uno de los cuales contiene el coche. Usted ahora tiene la opción de cambiar. Ya que la probabilidad de no elegir el coche que inicialmente se $9999\over10000$ es muy probable que usted no elige el coche. Así, suponiendo ahora que la puerta X es una cabra y cambiar el coche. Esto significa que mientras que usted escoja la cabra en su primer intento siempre sacar el coche.

Si volvemos al problema original en el que solo hay 3 puertas, vemos que la exactamente la misma lógica se aplica. La probabilidad de que usted elija una cabra en su primer intento es $2\over3$, mientras que la elección de un coche es $1\over3$. Si eligen una cabra en su primer intento y el interruptor que usted conseguirá un vehículo, y si usted elige el coche en su primer intento y el interruptor obtendrá una cabra. Por lo tanto la probabilidad de que usted conseguirá un automóvil si el interruptor es $2\over3$ (que es más que la inicial $1\over3$).

Answer 3

La persona que cambia su opción ganará, si y sólo si su primera elección fue mal, y hay una probabilidad de $\frac{2}{3}$ en eso.

La persona que no cambia su opción ganará, si y sólo si su primera elección fue la correcta. Hay una probabilidad de $\frac{1}{3}$ en eso.

Answer 4

Su sencillo, cambiar le permite elegir 2 de las 3 puertas. La elección de la puerta número 1 y, a continuación, siempre el cambio es el equivalente a decir "la puerta número 2 o la puerta número 3, pero NO la puerta número 1". Cuando se mira de esa manera, usted debe ver que usted tiene un 2/3 de probabilidad de ser la correcta, y que la revelan, simplemente confirma que la puerta debe ser si usted está a la derecha. Aumentar el número de puertas y debe ser aún más evidente que el decir "puerta de 2 o 3 o 4 o 5 o ... pero no 1" es la forma correcta de apuesta. Usted tiene un $1-1/x$ de probabilidad de ser derecho, y un $1/x$ de probabilidad de estar equivocado.

Answer 5

Simplemente saber que el profesor mostró una pérdida de puerta no proporciona ninguna información a menos que uno sabe cómo la corrección de la respuesta inicial podría influir en la probabilidad de que el profesor mostrando la pérdida de la puerta. Considere los siguientes cuatro posibles "estrategias" para el profesor:

1. El anfitrión sabe donde el premio es, quiere que el concursante a perder, y mostrará una puerta vacía, sólo si el concursante había recogido el uno con el premio [si el concurso ya ha elegido a una puerta equivocada, el anfitrión, revelan la concursante de la puerta o el uno con el premio].

2. El anfitrión sabe donde el premio es, quiere que el concursante para ganar, y mostrará una puerta vacía, sólo si el concursante había recogido la otra puerta vacía [si el concursante ya había elegido la derecha de la puerta, el anfitrión, simplemente mostrar].

3. El anfitrión sabe en donde el premio es, y será siempre muestran un vacío de la puerta [de la puerta vacía si el concursante inicial supongo que estaba equivocado, o arbitrariamente seleccionados puerta vacía si era lo correcto].

4. El anfitrión elige una puerta al azar; si contiene el premio, el concursante pierde; de lo contrario, el concursante se le permite cambiar a la otra puerta invisible.

En los dos primeros escenarios, el anfitrión de la decisión de mostrar o no un vacío de la puerta se indican a cualquier persona que conozca la acogida de la estrategia de si el jugador que la conjetura era correcta o no. En el tercer escenario, el anfitrión de la decisión de ofrecer un conmutador proporciona ninguna información acerca de si el concursante de la estimación inicial era correcto, pero convierte a los 2/3 de probabilidad de que la concursante de la estimación inicial fue de mal en 2/3 de probabilidad de que el premio está bajo el resto de la puerta.

Para evaluar el último escenario de forma intuitiva, imaginar que el host dibuja una "X" en el reproductor de la puerta, tira una moneda para elegir una puerta al azar y se saca una "Y" en él, y, finalmente dibuja una "Z" en el resto de la puerta. Si ni el host ni el jugador tiene ninguna pista en cuanto a donde el premio es, de las puertas 1, 2, y 3 tendrán una probabilidad igual de celebrar el premio, y el marcado de las letras X, Y o Z, por personas que no tienen idea de donde el premio es no cambiar eso. Si el anfitrión le pregunta al jugador si le gustaría cambiar a Z antes de que nadie sabe lo que está debajo de la S, la decisión será útil 1/3 del tiempo, nocivas 1/3 del tiempo, e irrelevante 1/3 del tiempo. Si la puerta Y se muestra vacío, la irrelevante caso será eliminado de los casos que quedan, los otros dos se han 1/2 de probabilidad de cada uno.

Nota: Muchos de los debates de la "Monty Hall Paradoja" supongamos que el host usa la estrategia #3, pero no explícitamente que hecho. Esa suposición es críticamente importante para la evaluación de la probabilidad de que un interruptor será una jugada ganadora, ya que sin ella (dependiendo de la acogida de la estrategia) la probabilidad de que el premio está debajo del resto de los de la puerta podría ser cualquier cosa, desde 0% a 100%. No sé la estrategia utilizada por el real juego de la vida-el anfitrión de la demostración para quien la "paradoja" de nombre, pero estoy bastante seguro de que he visto a jugadores reveló como ganadores o perdedores sin que se les da una oportunidad para cambiar, lo que implica que mientras Monty Hall a veces se ha utilizado la estrategia #3, él no lo hizo de manera consistente [el normal argumentos/pruebas sostendría si el host de la decisión de si o no el jugador será el que se muestra una puerta vacía y permitió a cambio fue hecho antes de que el jugador seleccionado la puerta de su casa, pero no tengo ninguna razón para creer Monty Hall hizo las cosas de esa manera].