Inducción: Si $a+1/a$ es un número entero, también lo es $a^t+1/a^t$ $t\in\mathbb N$

Question

$a$ $\mathbb{R}$ pero no es igual a $0$ y $a+\dfrac{1}{a}$ es entero, $a^t+\dfrac{1}{a^t}$ también es un número entero para todas las $t\in\mathbb N$.

Si $\displaystyle a+\frac1a$ es un entero $\displaystyle \left(a+\frac1a\right)^2,\left(a+\frac1a\right)^3, \ldots $ son números enteros.

Tal vez la inducción en $$a^{t+1} + \frac1{a^{t+1}} = \left(a^t+\frac1{a^t}\right)\left(a+\frac1a\right) - \left(a^{t-1}+\frac1{a^{t-1}}\right)$ $

Estoy teniendo un problema haciendo la inducción para este problema, cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Su método es correcta. La hipótesis inductiva es «$(a^i+a^{-i})$ es un número entero para todas las $i \leq t$». Usted utilizará este tres veces en cada paso de inducción: $i=t$ $i=1$ y $i=t-1$.