Una función suave $f(x)$ tiene un único mínimo local y global. ¿Qué ocurre con su ubicación a medida que $f(x)$ varía suavemente en el tiempo?

Question

Dejemos que $f(x,t)$ sea una función suave $\mathbb R^2\to\mathbb R$ tal que $F_t(x):=f(x,t)$ tiene un único mínimo local en $x$ por cada $t\in[0,1]$ . Supongamos además que este mínimo local de $F_t(x)$ es también el único mínimo global de $F_t(x)$ .

¿Con qué regularidad varía la ubicación de este mínimo único con respecto a $t$ ? En otras palabras, si $x=\chi(t)$ es el $x$ -valor donde $F_t(x)$ alcanza su mínimo único, ¿podemos decir que $\chi(t)$ es una función suave de $t$ ? Si no es así, ¿es $\chi(t)$ diferenciable o continuo?

Hice una versión similar de esta pregunta aquí . La respuesta era correcta y muy inteligente, pero me preguntaba qué ocurre si insistimos en que el mínimo global único era también un mínimo local único.

Answer 1

Para los fijos $t$ , $f(x,t) = (x^3t)^2$ tiene su único mínimo local y global en $x = t^{1/3}$ . Esto no es diferenciable en $t=0$ .

Answer 2

No estoy seguro de la diferenciabilidad de $\chi$ pero, a menos que me haya perdido algo, es muy fácil demostrar que $\chi$ es continua si $f$ es.

De hecho, considere $t_0\in [0,1]$ y que $k_0=\chi(t_0)$ . Dejemos que $\varepsilon>0$ y $g(t)= \min(f(k_0-\varepsilon,t)-f(k_0,t),f(k_0+\varepsilon,t)-f(k_0,t))$ . Entonces $g$ es continua ya que $f$ es, y $g(t_0)>0$ , por lo que debe haber un $\eta>0$ tal que $g(t)>0$ para cualquier $t\in[t_0-\eta,t_0+\eta]\cap [0,1]$ . Considere ahora, para tal $t$ La restricción de $F_t(x)=f(x,t)$ a $[k_0-\varepsilon,k_0+\varepsilon]$ por la compacidad, hay un $z\in [k_0-\varepsilon,k_0+\varepsilon]$ donde $F_t$ alcanza su mínimo. Dado que $z\leq F_t(k_0)$ , $z$ debe estar estrictamente dentro de $[k_0-\varepsilon,k_0+\varepsilon]$ . Debido a las hipótesis sobre $f$ Esto obliga a $z$ para que coincida con $\chi(t)$ . Esto demuestra que $|\chi(t)-\chi(t_0)|<\varepsilon$ siempre que $|t-t_0|<\eta$ Y esta es la definición clásica de continuidad.