¿Lo que se necesita para definir una geometría?

Question

No estoy muy seguro de si lo que estoy pidiendo es una pregunta válida, sin embargo, me han llegado a través de dos diferentes geometrías': Euclidiana y Minkowski (también he oído hablar de la geometría diferencial, geometría de Riemann, la geometría elíptica, pero no sé mucho acerca de estos). En la geometría Euclidiana, que no implican tiempo, mientras que en la de Minkowski que hacemos. En Minkowski también tenemos a una distancia diferente de la medición...

No estoy seguro de si soy o tal vez la mezcla de un 'geometría' con 'una lista de las propiedades del espacio-tiempo' en la última parte...

Y me disculpo de que mi pregunta parece estar basada en la física; estoy interesado en geometrías en general , pero soy sólo un primer año de ciencia general de pregrado, así que mis ejemplos son simples basado en la física.

Answer 1

No pretendo ser un aparejador; de lo que usted escribió, supongo que lo que necesitas es un amistoso, pop comprensión. Originalmente había una geometría, la denominada geometría Euclidiana una.k.una. la geometría del plano. Una de las Euclides cinco axiomas es el llamado Postulado Paralelo. Generaciones de matemáticos intentaron probar que este axioma no es en realidad un axioma en el sentido de que puede ser derivada a partir de los otros cuatro axiomas. Resulta que este axioma es demostrado independiente de los otros cuatro axiomas. Pero, a diferencia de la Física, que explora el universo que nos ocupaba, matemáticas explora cada universo posible! Usted puede pensar de esta manera, que cuando nos "modificar" el conjunto de los axiomas mediante la sustitución de exactamente uno de ellos o a otras medidas razonables, entonces tenemos una nueva geometría que puede ser diferente de la de Euclides. Por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de un triángulo en una esfera puede ser demostrado ser $> \pi$.

En las matemáticas modernas, el concepto de axioma no es más que un conjunto de enunciados que tienen ciertas propiedades atractivas que sirve como un principio lógico de inferencia. El conjunto de axiomas de un sistema formal se asemeja a un cierto grado el conjunto de reglas para un juego.

Answer 2

Tengo que hacer (por alguna razón) pretende ser un aparejador, así que quizás yo pueda intentar decir algo. Hay, como usted ha observado, muchas disciplinas matemáticas se refieren a algún tipo de `geometría', que son todos los relacionados unos con otros.

Desde sus ejemplos caen bajo el paraguas de Diferencial/geometría de Riemann me voy a quedar en ese tema (la geometría algebraica tiene un carácter un tanto diferente y tendría otra respuesta para hacer frente al problema).

La geometría, en este contexto, se rompe de forma natural en una parte local y global de una parte, y "el espacio" (manifold) es considerado como pegan fuera de los locales de piezas de mapas que satisfacen ciertas propiedades.

El 'local' se ocupan de estudiar las propiedades de los diferentes nociones de distancia en el espacio de $\mathbb{R}^n$ (de hecho con diferentes métricas que se simétrica positiva definida de dos formas en los vectores de tangentes - una especie de "infinitesimal" idea de distancia, pero la integración se puede recuperar una noción de distancia entre dos puntos).

Un ejemplo famoso es dada por dotar a $\mathbb{R}^n$ con el habitual (Euclidiana) de distancia. Otro (si dejamos caer la positiva definida requisito para la métrica), es el espacio de Minkowski. Probablemente el más importante locales idea es que de curvatura. El famoso curvatura constante de los parámetros de $\mathbb{R}^2$ dar el (local), los estudios de la esférica, la euclídea y geometrías hiperbólicas, respectivamente.

El componente global viene cuando consideramos más complicado espacios como compuesto de parches locales y tratan de definir globalmente los objetos geométricos tenemos en el caso local. Por ejemplo, puedo poner una noción de distancia, en una esfera que viene de lo habitual de la incrustación en el $\mathbb{R}^3$ y ver como viene en forma de parches en el plano con una métrica (como sucede con curvatura positiva). Diferentes tipos de geometría (en general) provienen de los requisitos que ponemos en el encolado de los mapas entre las piezas - debido a que estos mapas de determinar qué tipo de objetos son definidos a nivel global. Por ejemplo, en los casos que he descrito para obtener una noción global de la distancia a la que debe preservar la métrica (esto se llama ser una isometría). Hay muchos otros casos, tanto más fuertes y más débiles por ejemplo, mi encolado mapa sólo necesita ser continua (topológicas colectores), o ser complejo (analítico de la geometría compleja) o preservar una forma simpléctica (geometría simpléctica).

Así que, para resumir una respuesta, usted necesita un local de la noción de distancia, llamada métrica, y una manera de pegar los parches locales juntos que preservar.

Answer 3

Cuando usted toma un vistazo a aquí, creo que la más común "Definiciones" de la geometría, son realizadas por un sistema de axiomas sobre cómo las incidencias y las relaciones entre las primitivas (líneas, puntos,...).

Por ejemplo, obtener la Geometría Proyectiva , esencialmente, por la alteración de la axiología en parallelity en las líneas y decir que las líneas paralelas se reúnen en el punto en el infinito.