Es $dx\,dy$ realmente una multiplicación de las $dx$$dy$?

Question

En las respuestas de la pregunta Es $\frac{dy}{dx}$ no una relación? se decía que $\frac{dy}{dx}$ no puede ser visto como un cociente, incluso a pesar de que se ve como una fracción. Mi pregunta es: ¿$dxdy$ en la integral doble representan una multiplicación de las diferencias? El problema que puede ser generalizada para una integral múltiple.

Answer 1

En una integral doble, en realidad, la integración de un diferencial de dos formas:

$$\int_R \mathrm{f}(x,y) \ \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y$$

Aquí, $\mathrm{d}x$ $\mathrm{d}y$ son la base de la diferencial de una formularios e $\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y$ es su exterior del producto.

Answer 2

El OP mencionados no estándar de análisis como una de las etiquetas. Por lo tanto, es apropiado señalar que, tal como uno puede pensar de la derivada como una verdadera relación de $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ modulo de un error infinitesimal (eliminada mediante la aplicación de la sombra), así también uno puede pensar de una sola variable de la integral como una suma infinita de términos infinitesimales de tipo $dx$ (de nuevo hasta la aplicación de la sombra). Las integrales dobles, naturalmente, puede ser visto como doble (infinito) sumas de dinero, de donde $dx\,dy$ es la más decididamente un producto ordinario. Y por supuesto esto se generaliza a múltiples integrales como el OP sugerido. Si uno está en el espacio Euclidiano, hablando de formas diferenciales es necesario un ofuscación.

Edit 1: Para finito de sumas de Riemann approxiating la integral doble, es obvio que el término $\Delta x \Delta y$ es un producto; parece que nadie en su sano juicio podría negar esto. La diferencia es que uno no puede deducir el valor de la integral a partir de un número finito de suma de Riemann. Por otro lado, con una infinita suma de Riemann cuando $\Delta x$ es reemplazado por $dx$, etc., el valor de la integral se deduce a partir del valor de la suma de Riemann por tomar la sombra (ver arriba). Esa es la ventaja de tener el más rico de la sintaxis de la hyperreal enfoque.

Edit 2: el OP pregunta es, de hecho, equivalente a una pregunta acerca de una sola variable integrales, a saber: qué $f(x)dx$ denotar la multiplicación de $f(x)$$dx$? Tal vez la respuesta correcta es que denota una memoria de la multiplicación. Es decir, la multiplicación es que todavía existen en el nivel de la hyperfinite suma de Riemann. Para pasar de esta a la integral se aplica el estándar de la función de la pieza, después de que sólo tenemos una "memoria" de la izquierda. Del mismo modo, uno puede formar el cociente diferencial Δy/Δx que todavía es una relación, pero no es obtener la derivada hasta que uno se aplica el estándar de la función de la pieza. También aquí hay sólo un recuerdo de una división de la izquierda. La ventaja de la hyperreal marco es que uno tiene un procedimiento directo para pasar de la relación de los derivados que no es el caso en el tradicional real basado en un marco donde uno debe apelar a una indirectos noción de un epsilon, delta límite.

Answer 3

Como otros han dicho, $dx\, dy$ no representa un producto de las diferencias. Pero representa un producto de medidas. Tenemos el "naturales" de la medida de Lebesgue $\lambda$ $x$- eje, y la integración con respecto a esta medida es señalada por escrito ${\rm d}x$ paréntesis derecho de la integral. Igualmente tenemos el "naturales" de la medida de Lebesgue $\lambda$ $y$- eje, y la integración con respecto a esta medida es señalada por escrito ${\rm d}y$ paréntesis derecho de una integral que involucra la variable $y$. Las medidas individuales $\lambda$ $x$eje ${\mathbb R}$ e las $y$eje ${\mathbb R}$ definir un producto de medida $\lambda\otimes\lambda$ sobre el producto cartesiano ${\mathbb R}^2$, llamado de nuevo a medida de Lebesgue en ${\mathbb R}^2$. Integración con respecto a este producto medida se está señalada por escrito ${\rm d}(x,y)$, ${\rm d}x\otimes {\rm d}y$, o, simplemente,$dx\,dy$, como paréntesis derecho de una integral sobre un subconjunto $A\subset{\mathbb R}^2$. El teorema de Fubini nos dice que $$\int\nolimits_A f(x,y)\>{\rm d}(x,y)=\int\nolimits_{A'}\left(\int\nolimits_{A_x} f(x,y)\> {\rm d}y\right)\ {\rm d}x\ ,$$ donde $A'$ denota la proyección de $A$ a de la $x$-eje y $A_x:=\{y\mid (x,y)\in A\}$ recoge el $y$-de los valores ponderados para determinado $x\in A'$.

Answer 4

Vamos a decir $f(x,y)$$\dfrac{\mathbf{kg}\cdot \mathbf{m}}{\mathbf{sec}\cdot\mathbf{dollar}}$$x$$\mathbf{sec}$$\mathbf{dollar}$. A continuación,$f(x,y)\,dx\,dy$$\mathbf{kg}\cdot \mathbf{m}$, como si se están multiplicando.

Si un infinitamente pequeño rectángulo tiene una longitud y anchura respectivamente $dx$$dy$, entonces su área es de $dx\,dy$; si $f(x,y)$ es la densidad de algo (de la masa, la probabilidad, la energía$\ldots$) con respecto a la zona, luego de $f(x,y)\,dx\,dy$ se miden en las mismas unidades que ese "algo". ¿Por qué $dx\,dy$ se $r\,dr\,d\theta$. A veces la gente dice "porque se multiplica por un Jacobina". Eso está bien hasta cierto punto, tal vez. Creo que es $(dr)(r\,d\theta)$. Si $r$ está en metros y $\theta$ es adimensional y en radianes, entonces $r\,d\theta$ es en metros. Una longitud de un arco de un círculo es el radio de veces el radián medida del arco. La radio es $r$; el radián medida de que el arco es $d\theta$, lo $r\,d\theta$ es la longitud, y $dr$ es disance en una dirección ortogonal a que por lo $(dr)(r\,d\theta)$ es el área de ese rectángulo. Es un rectángulo porque un infinitamente pequeño arco es una línea recta.

Si usted dice que esto no es riguroso, estoy de acuerdo.

Si el objeto de que esta no es riguroso, no estoy de acuerdo.

Ideas intuitivas pueden ser rigurosa [comentario inspirado por los comentarios que figuran a continuación: El siguiente debería ser obvio, pero al parecer había una persona a quien no lo era, así que tal vez hay otros. Yo no toleran la fabricación de infinitesimals riguroso en la mayoría de los de primer año de los cursos de análisis matemático.]. ¿Cuál es la manera correcta de hacer que pueden ser objeto de desacuerdos filosóficos. Pero no se debe afirmar que la intuición de manera rigurosa es la rigurosa producto final. Sólo que la manera de hacer algo riguroso es el de la derecha, depende del contexto. Alguna otra manera de hacer algo riguroso que será descubierta de 100 años a partir de ahora puede tener su lugar. Pero la idea de que es ser rigurosa existe independientemente de las formas de lo que es riguroso.

Answer 5

$dx$ $dy$ no son números reales; son cosas llamadas formas diferenciales. Por lo tanto, usted no puede utilizar el número real de operación de multiplicación para multiplicar ellos.

Sin embargo, $dx \, dy$ es una cosa, y no es muy razonable para definir "la multiplicación de $dx$$dy$$dx \, dy$. El truco es que usted tiene que hacer las inferencias en la dirección opuesta de lo que estás acostumbrado a ... trabajar la primera de las propiedades, no es porque usted es la comprensión de $dx \, dy$ en términos de la multiplicación, es porque está utilizando su comprensión de $dx \, dy$ a averiguar qué 'multiplicación' significa.

Hay algunas sutilezas en lo $dx \, dy$ significa que no voy a explicar en este momento: por ejemplo, se necesita hablar sobre la orientación de una región, de manera que el hecho de que $dx \, dy = -dy \, dx$ puede ser adecuadamente explicado. (no os dais cuenta de este hecho cuando ordinarios de las integrales iteradas, ya que le da la vuelta a la orientación de su región, siempre que intercambiar el orden de $x$$y$, lo que cancela el cambio de signo)