Mostrar que B es una matriz nonsingular (no tan obvia).

Question

¿Cómo proceder si preguntaron en una entrevista para mostrar que B es una matriz nonsingular (de una manera elegante)?

$$B= \begin{pmatrix} 1& 1.25& −0.50& 0.15\\ 0.15& 2& 1.25& −1.50\\ −0.45& 0.25& 3& 1.25\\ 0.25& −0.15& 0.25& 4\\ \end{pmatrix}$$

En mi opinión, tomarse el tiempo para calcular el determinante de esta matriz de #% de #% % durante la entrevista no será apreciada por el entrevistador.

Answer 1

$B^T$ es no singular ya que es una estricta matriz diagonalmente dominante. Así $B$ es no singular.

Answer 2

Otro enfoque:

Multiplicar por una constante para que sea una matriz de enteros: en este caso, considerar el % de matriz $20B$, que es una matriz de enteros. Mostrar que su determinante es no-cero modulo algunos pequeños prime, por ejemplo: 2 o 3.

Answer 3

Algo que siempre funciona con baja complejidad y no depende de que matriz:

1. Tomar un vector al azar
2. Lazo sobre las columnas / filas:
   • Quitar la proyección con fila/columna actual

Si después de tres (o proyecciones $n-1$) quitadas no es paralelo al vector pasado (hasta la precisión) entonces hay un espacio de null tamaño distinto de cero.

Estoy muy seguro que la posibilidad de golpear accidentalmente un subespacio en el espacio de valor es abismalmente pequeña.

Answer 4

Otra posibilidad:

Usar eliminación Gaussiana en $B$ para obtener una matriz triangular superior. Nonzeros en la diagonal de la matriz triangular superior resultante significa que $B$ nonsingular.

(OP pidió de una manera elegante de hacer esto, sin embargo, "elegante" no fue definido. IMHO, eliminación Gaussiana es manera más elegante que el determinante de la computación.)