Límite de$\left(\sum\limits_{k=0}^n \frac{{(1+k)}^{k}-{k}^{k}}{k!}\right)^{1/n}$

Question

Calcular el límite siguiente: $$\lim_{n\to\infty} \left(\sum_{k=0}^n \frac{{(1+k)}^{k}-{k}^{k}}{k!}\right)^{1/n} $ $

En primer lugar, estoy solo buscando cualquier atisbo de ayuda que me permitirá resolverlo. Pensé en la fórmula de Stirling, pero no estoy convencido de que me sirve aquí. Tal vez si tuviera $n!$ cuando $n$ va a infinito que podría funcionar, de lo contrario dudo que puedo hacer algo al respecto. No está seguro de cómo abordar, sin embargo.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\dfrac{{(1+k)}^{k}-{k}^{k}}{k!}=\dfrac{{(1+k)}^{k+1}}{(k+1)!}-\dfrac{k^{k}}{k!}$, por lo tanto, $$ \sum_{k=0}^n \frac{{(1+k)} ^ {k}-{k} ^ {k}} {k}! ¡= \dfrac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \dfrac {(n+1) ^ {n}} {n!}, $$ y $$ \left(\sum_{k=0}^n \frac{{(1+k)}^{k}-{k}^{k}}{k!} \right)^{1/n}=(n+1)\cdot(n!) ^ {-1/n}. $$ De ese punto, aproximación de Stirling generalmente aplicado a $n!$ muestra que el límite es de $\mathrm e$.