Prueba de existencia de un triángulo de área $\leq \frac{1}{8}$

Question

Problema: Dado cualquier conjunto de $S$ %#% puntos de #% dentro de un cuadrado unidad, mostrar que siempre hay puntos distintos de $9$ $3$ tal que el área del triángulo formado por estos puntos de $S$de % sea menor o igual a $3$

Debo hacer esto usando el principio del casillero. Usé la técnica habitual de repartir la plaza a la conclusión de que existe un triángulo con área menor de $\frac{1}{8}$ pero soy incapaz de mejorar el límite.

Por favor ayuda.

Answer 1

Primero divide el cuadrado unidad en cuatro cuadrados con lados % longitud $s$ $\frac{1}{2}$.

Ahora dado %#% puntos de #% y $9$ plazas, por el principio de orificio de Paloma al menos un % de cuadrados $4$que contiene tres de los puntos. Estos tres puntos forman un triángulo cuyo área $S$ está delimitado por la mitad del área del $A$ (ver aquí para una prueba). Ya que los lados $S$ $s$ $S$ de la longitud, tenemos ese % \frac{1}{2}$