Agotamiento "equivalente" por conjuntos compactos

Question

Dado un conjunto abierto $U \subset \mathbb R ^n $ existe un agotamiento por conjuntos compactos, es decir, una secuencia de conjuntos compactos $K_i$ , s.t.

$\cup _{i=0}^{\infty} K_i = U$ y $\forall i \in \mathbb N : K_i \subset K_{i+1} ^{\circ}$

Podemos imaginar que los diferentes agotamientos por conjuntos compactos se "propagan" a diferentes velocidades para las distintas partes $U$ .

Llamemos a un agotamiento $(K_i)_i$ más fuerte" que otro agotamiento $(L_i)_i$ siempre que tengamos

$\forall i \in \mathbb N \exists j \in \mathbb N : L_i \subset K_j$ .

Llamamos a dos agotamientos equivalentes, si cada uno es más fuerte que el otro - es decir, para cada conjunto compacto en el primero, tenemos un superconjunto compacto en el segundo, y viceversa.

Pregunta : ¿Son todos los agotamientos de $U$ ¿equivalente?

Propósito: Se encuentran varios escenarios, donde se define una determinada estructura por tal agotamiento. Si la pregunta anterior tiene una respuesta positiva, esto evitaría preguntarse si su construcción es independiente de tal agotamiento.

Answer 1

Sí. Deja que $\{L_i\}_{i=1}^\infty$ , $\{K_i\}_{i=1}^\infty$ sean dos agotamientos. De ello se desprende que $\bigcup_{i=1}^\infty K_i^\circ = U$ por lo que para cada $n$ , $\{K_i^\circ\}_{i=1}^\infty$ es una cubierta abierta de $L_n$ . Por compacidad, tiene una subcubierta finita $\{K_{i_1}^\circ, \dots, K_{i_l}^\circ\}$ . Pero si $m = \operatorname{max}(i_1, \dots, i_l)$ tenemos $K_{i_j}^\circ \subset K_{i_j + 1} \subset K_{m+1}$ para todos $j=1,\dots, l$ . Así, $L_n \subset K_{m+1}$ y así $K_i$ es más fuerte que $L_i$ . Por simetría son equivalentes.

Answer 2

Ok, una versión por mi cuenta, más técnica.

Dejemos que $V$ sea cualquier conjunto compacto incluido en $U$ . Queda por demostrar $\exists i \in \mathbb N : V \subset K_i$ .

Tenga en cuenta que $\forall i : V \cap K_i$ de nuevo.

Supongamos que no hay ningún índice $i$ s.t. $V \subset K_i$ .

Entonces hay una secuencia anidada $V_i$ de conjuntos acotados no vacíos, $V = V_0, \forall i : V_i \cap K_i = \{\}$ , .

Dejemos que $x_i \in V_i$ sea una sucesión de puntos, que existe por hipótesis. Entonces esta sucesión está acotada y es convergente.

Por lo tanto, dejemos que $x_i \rightarrow x$ . Por supuesto, $\exists k \in \mathbb N : \exists \epsilon > 0 : B_{\epsilon}(x) \subset {K_k}^{\circ}$ .

Como $x_i$ convergencia, nos saltamos un número importante de elementos y $\forall i : x_i \in B_{\epsilon/2}(x) \subset B_{\epsilon}(x) \subset K_k$ .

Después de reindexar el $V_i$ según nuestras elecciones de subsecuentes, obtenemos una contradicción.

Por lo tanto, tal hay un $i$ s.t. $V \subset K_i$ . Como $V$ ha sido cualquier conjunto compacto, hemos terminado.