Elemental

Question

$\newcommand{\lax}{\operatorname{lax}}$ El teorema de Liouville es bien conocida y se afirma que:

El antiderivatives de ciertas funciones elementales no pueden por sí mismos ser expresadas como funciones elementales.

El problema que tengo de esto es lo que es una función primaria? Quién los define? ¿Cómo se puede definir?

Alguien puede decir, por ejemplo, que hay una función que se llama $\lax(\cdot)$, el cual es definido como:

$$ \lax\left(x\right)=\int_{0}^{x}\exp(-t^2)\mathrm{d}t. $$

Entonces, podemos decir que el $\lax(\cdot)$ es una nueva escuela primaria funcionan como $\exp(\cdot)$ y $\log(\cdot)$, $\cdots$.

Yo simplemente no te funciones elementales y cuáles son las razones para definir ciertas funciones como primaria.

Tal vez debería leer algunos artículos o libros antes de la publicación de esta pregunta. Debo? Me gustaría obtener un poco de ayuda de usted.

Answer 1

Funciones elementales son finito de sumas, diferencias, productos, cocientes, las composiciones y las $n$th raíces de las constantes, polinomios, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas, y todas sus funciones inversas.

La razón por la que se definen de esta manera es porque alguien pensó que eran útiles. Y otras personas que creyeron en él. Por qué, por ejemplo, no nos redefinir los enteros para incluir a $1/2$? Es esto diferente de su pregunta acerca de la $\mathrm{lax}$ (o más bien $\operatorname{erf}(x)$)?

La convención es sólo eso, y nada más.

Answer 2

Yo plantearía la pregunta de esta manera. Podemos pensar en nuestra "biblioteca" de las funciones que se construye de forma recursiva: Empezar con un par de funciones básicas (polinomios, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas, etc.), y comenzar a componer, concatenar, integración, etc. En cada etapa se tiene una colección de funciones que se han definido "hasta el momento". Lo que el teorema de Liouville está diciendo es que:

En cualquier etapa, habrá funciones cuyas integrales constan de funciones que todavía no se han definido.

Así, por ejemplo, usted puede (si quiere) agregar la función de lax $(x)$ a su biblioteca, y consideramos que es "elemental"... Pero luego, tan pronto como usted comience a pensar acerca de la integral de lax $(x)$ a descubrir que esto no puede ser expresado mediante funciones elementales. Así que, seguro, seguir adelante y dar que la función de un nombre y de la llamada es de primaria; tan pronto como usted lo hace, usted se da cuenta de que su integral no puede ser expresado mediante funciones elementales. Y así sucesivamente.

Editado para añadir: Un par de comentaristas se han preguntado por una referencia a la negrita paráfrasis de Liouville del Teorema anterior. Debo aclarar que no tengo una referencia para él, y ni siquiera estoy seguro de que un teorema existe (o ha sido demostrado). La negrita paráfrasis es mi informales, intuitiva interpretación del significado de Liouville del Teorema; me parecía que era lo que el OP que estaba buscando. Tenga en cuenta que mi declaración fue deliberadamente vaga (incluye "etc." en dos lugares diferentes). Sospecho que hay probablemente algunos más precisa refinamiento de esta paráfrasis que es cierto, pero yo no sé lo que el refinamiento sería.

Answer 3

La motivación aquí es similar a la que en la escuela primaria de la teoría de Galois donde se puede estudiar si se puede o no escribir las raíces de un polinomio usando el estándar de la aritmética funciones junto con la $n$th la función de raíz. Usted podría preguntarse, ¿por qué nadie se preocupa por resolver ecuaciones polinómicas el uso de estas funciones restringidas cuando se podría utilizar cualquiera de un número de métodos numéricos, o definir nuevas funciones.

Pero si usted investigar el problema restringido de una gran cantidad de interesantes de las matemáticas surge. Soluciones de ecuaciones polinómicas mediante radicales corresponden a la solución de los grupos de interés en su propio derecho. Esto le da un montón de información en problemas más general de problemas (por no hablar de que, históricamente, este problema ayudado kickstart todo el campo del álgebra abstracta). El hecho de que esta conexión existe ahora, justifica el estudio de la original restringido problema. Y da una idea de los problemas más amplios de las clases de problemas.

Si usted es un software de escritura de forma simbólica a integrar funciones, digamos, entonces sería arriesgado ignorar el teorema de Liouville y Risch del algoritmo. Les voy a dar una idea, incluso si se está resolviendo un problema más general.

Answer 4

Debo añadir que la prueba de una integral indefinida no es uno de una "biblioteca" de funciones elementales es muy, muy difícil. De álgebra computacional de los sistemas utiliza el algoritmo de Risch, espero tener la ortografía correcta. Y se puede definir una nueva función que te gusta, pero sólo aquellos que se encuentran ampliamente útil mantener los mismos nombres.