¿Existe una pradera topológica infinita con topología no trivial?

Question

Como referencia, las praderas son una generalización de los campos que fueron diseñados para ser compatibles con los requisitos del álgebra universal. En concreto, un prado es un anillo conmutativo dotado de una involución $x\mapsto x^{-1}$ que obedece a

$$x\cdot x\cdot x^{-1}=x$$

para todos $x$ . (Un campo puede convertirse en un prado dejando $x^{-1}$ sea la inversa multiplicativa cuando $x\neq0$ y $0^{-1}=0$ .) Un prado topológico sería un anillo topológico conmutativo con tal $x\mapsto x^{-1}$ tal que $x\mapsto x^{-1}$ es una función continua.

Se estableció en una pregunta anterior que ninguno de los campos estándar se puede considerar como praderas topológicas con sus topologías estándar. (También estoy bastante seguro de que el $p$ -adicas tampoco son praderas topológicas bajo sus topologías estándar).

Así que mi pregunta es: ¿Existe una pradera topológica infinita con topología no trivial? No trivial es algo vago, pero creo que esencialmente lo que busco es que el espacio sea Hausdorff y esté conectado (si se toma la topología de un campo topológico y se hace del 0 un punto aislado creo que se obtiene una pradera topológica, pero desconectada), aunque en su defecto me gustaría saber "cuán cerca" se puede llegar. Y si existe una pradera topológica infinita y conectada de Hausdorff me gustaría saber cuánta más estructura geoemétrica se puede tener. ¿Existe una pradera topológica que sea un colector conectado (liso) (que no sea la pradera cero)?

Answer 1

El argumento dado en esta respuesta en MO muestra que si $A$ es cualquier conjunto dotado de una colección de operaciones finitas que satisfacen algunos axiomas ecuacionales tales que $2\leq|A|\leq\aleph_0$ , entonces existe un complejo CW infinitamente dimensional y contraíble $X$ que pueden dotarse de las correspondientes operaciones finitas que son continuas y que satisfacen los mismos axiomas (explícitamente, $X$ es el espacio de clasificación del groupoide contráctil con $A$ como el conjunto de objetos; creo que en realidad $X$ es siempre homeomorfo a $\mathbb{R}^\infty$ Pero no veo una manera fácil de demostrarlo). En particular, toda pradera contable no trivial da lugar a una pradera topológica conectada no trivial.

Como otra forma de obtener ejemplos de praderas topológicas, cualquier anillo booleano (es decir, un anillo en el que $x^2=x$ para todos $x$ ) tiene una estructura de pradera para la que $x^{-1}=x$ para todos $x$ . Como el mapa de identidad es siempre continuo, esto significa que cualquier anillo booleano topológico puede convertirse en un prado topológico. Es fácil encontrar anillos booleanos topológicos con topologías Hausdorff pero no discretas. Por ejemplo, consideremos un producto infinito de copias de $\mathbb{F}_2$ con la topología del producto. Encontrar un anillo booleano topológico conectado parece más difícil; la única forma que conozco es utilizando la construcción del párrafo anterior.

Sin embargo, no existen praderas topológicas conectadas no triviales que sean manifiestos. Para demostrarlo, nótese primero que cualquier anillo topológico conexo que sea un colector debe tener $\mathbb{R}^n$ como su grupo aditivo para algunos $n$ (todo grupo abeliano de Lie es de la forma $\mathbb{R}^n\times (S^1)^m$ y no es difícil demostrar que esto no puede admitir una estructura de anillo si $m>0$ ). En particular, a menos que $n=0$ debe contener $\mathbb{Q}$ como un subring de topología, con su topología habitual. Pero si $M$ es una pradera y $u\in M$ tiene un inverso multiplicativo, entonces $u^{-1}$ debe ser su inverso multiplicativo. Dado que el mapa inverso (junto con $0\mapsto 0$ ) no es continua en $\mathbb{Q}$ esto significa que nuestro anillo no puede admitir una estructura topológica de pradera a menos que $n=0$ .