Que $f$ sea una función en un espacio-tiempo $(M, g_{ab})$ cuyo gradiente, $k_a = \nabla_a f$, es decir en todas partes nula, es decir, $k_ak^a = 0$ en $M$. ¿Sigue necesariamente que las curvas integrales de $k^a$ son geodesics nulos?
Respuesta
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La condición que $k$ es un gradiente implica que es libre de rizo; i.e. $\nabla_i k_j = \nabla_j k_i$. Sea una curva integral de $\gamma$; $k^i$ i.e. $\dot \gamma^i(t) = k^i(\gamma(t))$. Entonces reemplazando $\dot \gamma$ $k$ en la aceleración covariante y la aplicación de la condición libre de rizo obtenemos %#% $ #%
Ahora hemos terminado básicamente - a reconocer el lado derecho como $$\ddot \gamma^i = \dot \gamma^j \nabla_j \dot \gamma^i = k^j \nabla_j k^i = k^j \nabla^i k_j.$, en que punto el hecho de que $\frac12 \nabla^i (k^j k_j)$ es null ($k$) nos dice que $k^j k_j = 0$; es decir, $\ddot \gamma = 0$ es una geodésica.
