¿Puede la Aritmética recrear la jerarquía transinfinita de la Teoría de Conjuntos?

Question

Hice esta pregunta en Philosophy.StackExchange mientras trataba de entender la filosofía declarada por Badious sobre el uso de las matemáticas como ontología. Pero se le aconsejó preguntar aquí debido al contenido matemático.

¿Puede la aritmética, al ser codificada por los Axiomas de Peano de primer orden, recrear la jerarquía transinfinita (cardinal) de la Teoría de Conjuntos (ZFC)?

Sospecho que no, simplemente porque no tenemos medios formales para crear un conjunto - y por lo tanto no podemos ni siquiera dar el primer paso para definir la cardinalidad.

¿Qué tal si Axiomas de Peano de segundo orden sospecho que aquí puede (pero no estoy seguro), como en la introducción del artículo anterior que tenemos:

Es una alternativa a la teoría de conjuntos axiomáticos como fundamento de muchas, pero no todas, las matemáticas.

Pero si sólo puedes tomar subconjuntos de los enteros, entonces aunque puedes construir los reales (identificándolos con ciertos subconjuntos de los naturales), no podrás tomar subconjuntos de ellos - lo que impedirá que uno construya conjuntos más grandes. Pero por otro lado siempre puedes generalizar entonces a la aritmética de tercer orden y así sucesivamente.

Sin embargo, en la entrada del SEP en lógica de orden superior dicen eso:

"hay un sentido en el que el funcionamiento del conjunto de la energía es definible en la lógica de segundo orden

y

Esta expresividad de segundo orden de la operación del grupo de energía permite la simulación de la lógica de orden superior dentro del segundo orden.

Así que tal vez no tengas que subir la escalera del n-PA, sino sólo simularlo en el 2-PA.

Answer 1

Podemos definir una interpretación de la teoría de conjuntos en aritmética de segundo orden. Me saltaré los detalles, pero una forma es definir un "código para un conjunto" para que sea un cierto tipo de árbol. La idea general es que la raíz del árbol que codifica un conjunto tiene un hijo para cada elemento del conjunto.

Por ejemplo, el conjunto vacío está codificado por un árbol con un solo nodo, porque $ \emptyset $ no tiene miembros. El conjunto $\{ \emptyset\ }$ está codificado por un árbol con dos nodos, la raíz y un solo niño; el árbol para el niño es entonces un árbol de un solo nodo, que codifica $ \emptyset $ . En general, un conjunto contable $\{a_n\}$ está codificado por un árbol bien fundado cuya raíz tiene un hijo $c_n$ para cada uno $a_n$ de tal manera que el árbol de abajo $c_n$ es un código para $a_n$ para cada uno $n$ .

De esta manera cualquier contable El modelo bien fundado de la teoría de conjuntos puede codificarse en la aritmética de segundo orden como una sola secuencia de códigos de conjuntos. Por supuesto que el ZFC "realmente" tiene un modelo contable bien fundado, que puede ser codificado a través de esta interpretación en un solo conjunto de números naturales. Por otro lado, ninguno de los sistemas de axiomas usuales para la aritmética de segundo orden probará que existe un modelo codificado de ZFC. Así que no es el caso que las teorías usuales de la aritmética de segundo orden interpreten el ZFC en el sentido de que una teoría interprete a otra. En cambio, tenemos una interpretación que sólo funciona en modelos suficientemente ricos de aritmética de segundo orden.

Una vez que definimos esta interpretación, es posible definir todas las nociones usuales de la teoría de conjuntos dentro de la aritmética de segundo orden en términos de un modelo codificado $M$ . Podemos definir lo que significa para un conjunto codificado en $M$ para tener el mismo $M$ -como otro conjunto codificado en $M$ lo que significa para un conjunto codificado en $M$ para ser el número cardinal en $M$ etc. De esta manera, estamos usando esencialmente la aritmética de segundo orden como una metateoría para estudiar modelos codificados de la teoría de conjuntos.

Los detalles de esta interpretación se dan en Subsistemas de Aritmética de segundo orden por Simpson, aunque la presentación allí es algo avanzada.

Answer 2

Si "recrear la jerarquía transfinita del ZFC" implica interpretar el ZFC, entonces la respuesta es no, esto no es posible. Si la PA interpretara el ZFC, entonces el ZFC sería consistente en relación con la PA, pero la fuerza de consistencia del ZFC es estrictamente mayor. Lo mismo ocurre con la teoría completa de $(n+1)$ - y también aritmética de orden: El ZFC prueba que tiene un modelo, a saber $(V_{ \omega +n}; \in )$ así que si el ZFC pudiera ser interpretado en esta teoría, entonces probaría su propia consistencia, violando el segundo teorema de incompletitud de Gödel.