De acuerdo a esto, hay una manera de resolver quinto grado ecuaciones elípticas funciones.
Algunas preguntas relacionadas con la que me vino a la mente:
Además de la utilización de funciones elípticas, de lo otro (conocido) métodos existen para la resolución de 5 de licenciatura o superior ecuaciones?
Para la ecuación de segundo grado, lo que hace que la solución por funciones elípticas o cualquier otro método convencional?
Para ecuaciones generales de deg $k>4$ uno puede usar,
Dado enteros positivos $m,n$$m+n=k$, si la ecuación general de deg $k$ puede ser resuelto por un método determinado, va a seguir de lo que las ecuaciones generales de deg $m,n$ puede ser así.
Por ejemplo, uno puede multiplicar el general cúbicos por una arbitraria cuadrática y resolver el producto como un "quintic", expresando así la raíz cubica (y cuadrática) en términos de funciones elípticas.
Sin embargo, si la que es considerada "la trampa", entonces uno puede revertir la ingeniería de la fórmula elíptica y adaptarlo para otros grados. Para el quintic, comienza con un modular ecuación de grados seis,
$$\Omega_5 = u^6 - v^6 + 5u^2v^2(u^2-v^2)+4uv(1-u^4v^4)=0\tag{1}$$
y usar esto para solucionar $x^5-x+a=0$. Los detalles están aquí. Si queremos ir más alto, hay una ecuación modular de ocho grados,
$$\Omega_7 = (1-u^8)(1-v^8)-(1-uv)^8 = 0\tag{2}$$
Desafortunadamente, no podemos reducir radicales en la general séptico a un parámetro de forma, por lo que el general 7 grados no puede ser resuelto por funciones elípticas. Si queremos ir más abajo, hay una construcción modular de la ecuación de grados de cuatro,
$$\Omega_3 =u^4 - v^4 + 2uv(1 - u^2v^2) = 0\tag{3}$$
Ahora el cúbicos puede reducirse a una forma del parámetro $x^3-x+a=0$ y uno puede asumir de forma análoga a los métodos se pueden aplicar en (3) para resolverlo. Pues parece que nadie se ha trabajado en los detalles precisos, aunque. (Naturalmente, ya que la resolución de la cúbico uso de funciones elípticas parece ser como cocinar un mosquito.)
Para la ecuación cuadrática, es más fácil. Se puede reducir a la de un parámetro de forma,
$$x^2+2ax+1=0$$
y la elíptica fórmula para el general cuadrática está dada por,
$$x_1^4 =\lambda(2\tau),\;\;\; x_2^4 =\frac{1}{\lambda(2\tau)}=\left(\frac{\eta^3(2\tau)}{\sqrt{2}\,\eta(\tau)\,\eta^2(4\tau)}\right)^8$$
$$\tau = i\,\frac{K(k')}{K(k)} = i\,\frac{\,_2F_1\big(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},1,1-\tfrac{1}{a^2}\big)}{\,_2F_1\big(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},1,\tfrac{1}{a^2}\big)}\tag{4}$$
donde $\lambda(\tau)$ es la elíptica función lambda, $\eta(\tau)$ es el Dedekind eta función, $K(k)$ es la integral elíptica completa de primera especie, y $\,_2F_1$ es la función hipergeométrica.
(Nota: Cuando se toma la 4ª raíz de la $x_i$, uno debe tener cuidado de colocar la correcta alimentación de las 4 de la raíz de la unidad $\zeta_4 = \exp(2\pi i/4)$, especialmente cuando los coeficientes de la ecuación cuadrática son complejas.)
$\color{red}{Edit}$: (algún tiempo después)
Permítanos nuke el mosquito. El cúbicos puede ser reducido a la forma,
$$x^3-x+b=0$$
La elíptica fórmula general para el cúbicos, es decir, definir,
$$w^2-(4-27b^2)w+(4-27b^2) =0$$
$$\tau = \frac{i}{\sqrt{3}}\frac{\,_2F_1\big(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},1,1-w\big)}{\,_2F_1\big(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},1,w\big)}\tag{5}$$
$$u =\left(\frac{\eta^4(3\tau)}{3\,\eta(\tau)\,\eta^3(9\tau)}\right)^3$$
a continuación,
$$x=\pm\sqrt{\frac{4u-1}{3u-3}}$$
donde el signo apropiado de la raíz cuadrada es elegido. (Esta es una fórmula más simple que una edición anterior.)
Nota la diferencia entre (4) y (5) como el segundo es Ramanujan la teoría de funciones elípticas de la firma 3. Esto le da a uno la raíz de la cúbico, y algunas modificaciones a $\tau$ probablemente le puede dar a las otras dos raíces.
Bien, todo el bien conocidas las soluciones a quintic utilizar elíptica de la función o funciones hipergeométricas. Un enfoque eficaz sería el uso de Glasser del método que se describe aquí. El método básicamente utiliza el de Lagrange-Burman inversión. Uno empieza con el Bring-Jerrard formulario
$$x^5 + x + a = 0 \tag{1}$$
La transformación de los que desde el general quintic está explícitamente descrito aquí. Un enfoque habitual sería pensar que simplemente la inversión de la expansión de Taylor de $f(x) = -x^5 - x$, pero que te obliga a aplicar sucesivas iterada derivados a $-f(x)^5 - f(x)$ que es computacionalmente muy ineficiente.
La clave aquí es la transformación de los anteriores en una más convenientes $x^5 - x + a$ formulario y, a continuación, aplicar el trivial Tschirnhausen transformación de $x = \zeta^{-1/(N-1)}$, el cual se describe muy bien en el papel. De esa manera, Glasser pasa por alto todas las tedioso derivado de los cálculos.
Sin embargo, el autor dice que en la práctica cada hypergeoemtric función de $_NF_{N+1}$ puede ser reducido a $_{N-1}F_N$. Esto no es siempre cierto, y Glasser no más investigación sobre este asunto. Yo creo que por el quintic, las funciones que realmente son equilibrada, aunque el análisis adicional sería necesaria. Una solución real de $(1)$ en este método se puede demostrar que tienen la forma
$$x_1 = -t_4F_3\left (\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}; \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}; \frac{5^5t^4}{2^8} \right )$$
Generalmente, estas formas son esenciales computacional de asuntos, como la serie de aceleraciones puede acelerar enormemente este tipo de series. También, algunos fáciles de bits de continuación analítica puede extender más allá de estas series es el radio de convergencia.
En cuanto a la segunda parte de esta pregunta, no estoy seguro. A partir de lo que es evidente, funciones elípticas, rara vez le da valores elementales, aunque la composición adecuada de funciones elípticas puede ser demostrado que tienen primaria o incluso racional de los valores en una gran clase de los puntos del avión real. Por ejemplo, elíptica funciones racionales. Tan lejos como puedo ver, no hay manera de extender los métodos que se utilizan para derivar elíptica soluciones a quintic, a ecuaciones cuadráticas. Para el cúbicos caso, cualquier método, o no tienen plausible extensiones, o devolver un montón de composición de la trigonométricas y las funciones hiperbólicas.
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