Definiciones de la alfombra de Sierpinski y análogos dimensionales más altos

Question

Definimos el Conjunto de Cantor como:

$Let \mathscr{J} := \{ 0, 2, \ldots , 3^{m-1} -1 \}$ $m \in \mathbb{N}$ , luego $$C = [0,1] \setminus \bigcup_{m \in \mathbb{N}} \bigcup_{k \in \mathscr{J}} \Big( \frac{3k+1}{3^{m}} , \frac{3k +2}{3^m} \Big)$$

es adecuada para definir la alfombra de sierpinski y la esponja de menger, y sus dimensiones superiores análogos como $C \times C$, $C \times C \times C$, y $\prod_{i \in \mathbb{N}} C_i$ respectivamente?

Me parece no puede encontrar una fórmula explícita para mayor dimensionl análogos en internet. Además, me gustaría saber qué significa para discutir el conjunto de cantor a afirmar una hyperreal número de veces. es decir, $Let \mathscr{J} := \{ 0, 2, \ldots , 3^{m-1} -1 \}$ $m \in \mathbb{N}^{*}$ , luego $$C = [0,1] \setminus \bigcup_{m \in \mathbb{N}^{*}} \bigcup_{k \in \mathscr{J}} \Big( \frac{3k+1}{3^{m}} , \frac{3k +2}{3^m} \Big)$$

Cualquier comentario será muy apreciada, especialmente en la segunda parte de la pregunta.

Answer 1

Es más fácil generalizar lo que se elimina en el conjunto de cantor.

La alfombra de Sierpinski es

$$S = [0,1]\times [0,1] \setminus \bigcup_{m \in \mathbb{N}} \left \{ \bigcup_{k,l \in \mathscr{J}} \Big( \frac{3k+1}{3^{m}} , \frac{3k +2}{3^m}\Big)\times \Big( \frac{3l+1}{3^{m}} , \frac{3l +2}{3^m}\Big)\right \} $$

La esponja de Menger es similar, pero más complicada, ya que nos quita los pedazos en el borde.

Su segundo de la construcción tiene una simple descripción. Los regulares del conjunto de Cantor es el conjunto de todos los ternario números entre 0 y 1 que tienen una representación utilizando sólo los dígitos 0 y 2. Su conjunto es el mismo, pero permitiendo que el ternario de la representación no tiene una norma número entero de dígitos.

Por ejemplo, para un no estándar $m$, $$ \bigcup_{k \in \mathscr{J}} \Big( \frac{3k+1}{3^{m}} , \frac{3k +2}{3^m} \Big)$$ is the set of all ternary numbers all of whose representations have a 1 in the $m$th 'ternario lugar".

Pero decimal o ternario números de necesidad de atención en hyperreal números:http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/Infinity/9999.shtml