Cada número no termina con cero tiene varias sin cero dígitos en todas?
Consideramos que los números en su base habitual de las 10 de la representación. no tomamos en cuenta los números que terminan con $0$, debido a que todos los múltiplos de estos números final con $0$.
Se puede probar que todos los poderes de $2$ han dicho varios: en efecto, por cada número de la forma $2^n$, podemos encontrar un múltiplo $l$ cuya última $n$ los dígitos distintos de cero (Esto se puede hacer varias veces la multiplicación de un número por $10^k+1$, como se explica aquí), y luego olvidar todos los otros dígitos; estos últimos $n$ los dígitos constituyen un número que todavía es divisible por $2^n$, ya que se obtiene a partir de a $l$ al restar un múltiplo de $10^n$ que es un múltiplo de a $2^n$.
El mismo argumento muestra que cada poder de la $5$ tiene múltiples sin ceros, pero esto no parece generalizar a otros números.
Mi intuición es que en realidad la afirmación no es cierta, ya que la densidad de los números sin cero dígitos enfoques $0$ para los grandes números. Esto es debido a que la probabilidad de un número aleatorio con en la mayoría de las $n$ dígitos para contener sólo los dígitos distintos de cero es $(\frac{9}{10})^n$. Así, los grandes números "casi siempre" contiene un cero. Esto sugiere la existencia de un contraejemplo, pero no prueba su existencia.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Entonces la respuesta es sí.
Si $n$ es relativamente primer a$10$, entonces la respuesta es fácil, ver por ejemplo este post escriba aquí la descripción del enlace
Si, $n=2^k m$ $m$ relativamente primer a $10$ o $n=5^km$ $m$ relativamente primer a $10$, luego de probar primero el siguiente por inducción:
Reivindicación 1 $2^k$ $k$ dígitos múltiples que contienen sólo los dígitos $1$$2$.
La reivindicación 2 $5^k$ $k$ dígitos múltiples que contienen sólo los dígitos $1,2,3,4$$5$.
Ambos son fáciles de inducción de ejercicios.
Una vez que usted probar esto, proceder de la siguiente manera (la misma idea que en el enlace publicado):
$n=2^k m$ o $n=5^km$ $gcd(m,10)=1$ .. Entonces, sabemos que $2^k$ $5^k$ tiene un múltiplo de la forma $\overline{a_1...a_k}$
Vistazo a los siguientes números $$\overline{a_1...a_k} , \overline{a_1...a_ka_1...a_k} , \overline{a_1...a_ka_1...a_ka_1...a_k} , ...$$
En esta lista infinita, existe dos números con el mismo recordatorio cuando se divide por $m$. Su diferencia es un múltiplo de a $m$.
Por lo tanto $$m| \overline{a_1...a_ka_1...a_ka_1...a_k00...0}=\overline{a_1...a_ka_1...a_ka_1...a_k}\cdot 10^l$$ Desde $m$ es relativamente primer a $10$ se sigue que $$m|\overline{a_1...a_ka_1...a_ka_1...a_k}$$ Desde $2^k$ $5^k$ también se dividen $\overline{a_1...a_ka_1...a_ka_1...a_k}$, y son relativamente primos a $m$, se deduce que $$n|\overline{a_1...a_ka_1...a_ka_1...a_k}$$
P. S. Hemos demostrado que la $n$ tiene un múltiple que sólo se puede escribir con los dígitos $1,2,3,4,5$. Estos dígitos pueden ser sustituidas por $5$ dígitos que cubren todas las clases de $\pmod{2}$$\pmod{5}$.
