Teorema fundamental de la trigonometría

Question

Esta es una pregunta bastante abierta y me disculpo, de antemano, si este no es el lugar para ella. Pero, ¿qué recomienda que se le dé el título de Teorema Fundamental de la Trigonometría y por qué? ¿Debemos limitarnos al caso plano? Yo creo que sí.

Answer 1

$$\boxed{\sin^2x+\cos^2x=1.}$$

Answer 2

El teorema fundamental, en mi opinión, sería:

Una lupa que aumenta el tamaño de un objeto $k$ tiempos:
1) No cambia los ángulos
2) Aumenta la longitud en un factor de $k$

De aquí se puede derivar (informalmente) la existencia del seno, del coseno, $\pi$ El $k^2$ aumento del área, resolver problemas de triángulos semejantes, etc.

Answer 3

La identidad $\sin^2x+\cos^2x=1$ viene de Pitágoras.

Creo que el hecho de que $\sin x$ y $\cos x$ (para un triángulo rectángulo) están bien definidos en absoluto es el teorema fundamental.

Teorema fundamental de la trigonometría La relación entre los lados correspondientes de los triángulos semejantes son iguales.

Editar: Daniel V tiene una idea similar.

Answer 4

En el siglo XIX se reconoció que la fórmula de la diferencia de ángulos para el coseno $$\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$$ es fundamental en el sentido de que las demás relaciones de la trigonometría pueden derivarse de ella mediante un enfoque de ecuaciones funcionales. Véase Aczel al respecto.

Además, aunque la gente suele creer lo contrario, $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ para los ángulos agudos se puede derivar de las fórmulas de diferencia de ángulos independientemente de Pitágoras. (Véase mi artículo en Forum Geometricorum).

Answer 5

$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$ .

De aquí se pueden derivar un montón de relaciones.