los elementos del Cantor ' discontinuum s

Question

Deje $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la secuencia de subconjuntos de a $\mathbb{R}$, dado por $A_0 := \bigcup_{k \in \mathbb{Z}}[2k, 2k + 1]$ und $A_n := \frac{1}{3}A_{n-1}$$n ≥ 1$.

También, se define

$$ A := \bigcap_{n=0}^\infty A_n, C:= A \bigcap [0, 1]$$

Llamamos a $C$ Cantor del discontinuum.

Dada esta definición, ahora quiero probar que $C$ consiste de todos los números reales de la forma $x = \sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{3^k}$ donde $a_k = 0$ o $a_k = 2$.

Gracias de antemano! Estoy empezando a comprender lo $C$ realidad se parece, pero yo realmente no sé cómo a mostrar esto. Mi idea era tal vez de usar el tres-ádico representación de los números?

Answer 1

Aquí está una imagen del conjunto de Cantor:

Imagen De Archivo:Cantor5.svg por Usuario:sarang

Imagina, desea describir un número $x$ del conjunto de cantor de forma única. Aquí usted tiene que especificar en cada iteración, si tienes que ir a la izquierda o a la el derecho subinterval, para finalmente llegar a $x$:

Debido a que cada número del conjunto de cantor es único, definido por una ruta de acceso de la forma

$$( \text{left, right, left, left,}\ldots)$$

Los números de los conjuntos de cantor son bijective a $\{\text{left}, \text{right}\}^\mathbb N$ o $\{0,1\}^\mathbb N$ (0 puede decir "ir a la izquierda subinterval" y el 1 de mayo de decir "ir a la derecha intervalo"). Vemos así, que el conjunto de Cantor tiene innumerable cantidad de objetos.

Ahora toma el punto de partida $s=0$. Para llegar a un número final $x$ del conjunto de Cantor agregar $\frac{2}{3^k}$ ir el derecho subinterval en el $k$-ésima iteración y agregar a $0$ ir a la izquierda subinterval:

Esto muestra que el conjunto de Cantor, que consta de todos los números reales con un 3-ádico representación sólo contiene 0 y 2.

Bueno, esto no es rigurosa prueba, pero creo que se entiende la idea básica... ;-)