Sea $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea una función continua en $\mathbb{R}$ y tiene la propiedad de que
$$h\left(\frac{m}{2^n}\right)=0,\quad\forall m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}.$$
¿Cómo podemos demostrar que esto implica que $h(x)=0$ , $\forall x\in\mathbb{R}$ ?
La forma en que pensé en este problema es mostrar que el conjunto
$$ S:=\left\{\frac{m}{2^n}:\forall m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}\right\}$$
es denso en $\mathbb{R}$ . De ello se deduce que para cualquier $c\in\mathbb{R}$ existe una secuencia $(x_n)$ que converge a $c$ de manera que todos los términos sean de la forma $p/2^q$ . Así, la secuencia $(h(x_n))$ converge a $0$ y por tanto por el criterio secuencial de continuidad debemos tener $h(c)=0$ .
¿Existe un enfoque más sencillo? Demostrar que $S$ es denso en $\mathbb{R}$ parece demasiado complicado para este problema. O, ¿podemos deducirlo de la densidad de $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}$ ?
