Prime como suma de tres números cuyo producto es un cubo

Question

Buenas noches! Soy muy nuevo en este sitio. Me gustaría poner el siguiente material de Prof. Gandhi nota del libro y de mis observaciones. Por supuesto, es un poco largo, con más preguntas. Pero, con buena fe en este sitio, estoy enviando para que las buenas soluciones/respuestas.

Si tomamos otro de los números primos $2$, $5$ y $11$, cada primer se puede escribir como $x + y + z$, donde $x$, $y$ y $z$ son algunos de los números positivos. Curiosamente, $x \times y \times z = c^3$ donde $c$ es de nuevo algún número positivo. Vamos a ver la magia de los números primos $3$, $7,13,17,\ldots$ $$ \begin{align} 3 = 1 + 1 + 1 &\Longrightarrow 1 \times 1 \times 1 = 1^3\\ 7 = 1 + 2 + 4 &\Longrightarrow 1 \times 2 \times 4 = 8 = 2^3\\ 13 = 1 + 3 + 9 &\Longrightarrow 1 \times 3 \times 9 = 3^3\\ 17 = 1 + 8 + 8 &\Longrightarrow 1 \times 8 \times 8 = 4^3 \end{align} $$ Se puede justificar el modelo anterior? Cómo generalizar la afirmación anterior, ya sea matemática o por ordenador?

Pero, he observado que es cierto para los primos de menos de $9500$. Puede proporcionar un algoritmo computacional para describir esto?

También, demostrar que, conjeturamos que con la excepción de $1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 22, 23$, cada número positivo se puede escribir como una suma de cuatro números positivos y el producto es nuevo, puede ser expresable en el 4to poder. Ahora, podemos generalizar esto? También, quiero saber eso, ¿hay alguno de estos números puede ser expresable como algunos de $n$-enteros con su producto esté de nuevo en la $n$-th poder?

Muchas gracias.

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Respecto a este cúbicos de propiedad :

Observe que esto puede ser extendido a casi todos los squarefree enteros positivos $> 2$, no sólo los números primos.

por ejemplo : sabemos que para el primer $7$ : $7=1+2+4$ así que también te $7A = 1A + 2A + 4A$ $1A * 2A * 4A$ es simplemente igual a $8A^3$.

De hecho, esto puede ser extendido a todos los impares enteros positivos $>11$ si $25,121$ tiene una solución.

Por lo tanto estoy interesado en esto y me puso una recompensa.

He editado la pregunta debido a su mucho para un comentario y, ciertamente, no una respuesta.

Por cierto soy curioso acerca de este Ghandi persona a través de info acerca de que no obtener la recompensa de forma natural.

Me gustaría recordar a David Speyer comentario : Cada primer que es $1 mod 3$ es de la forma $a^ 2 +ab+b^ 2$ , por lo que cubre la mitad de los números primos de inmediato.

Lo que podría ser una línea de ataque.

mick

Answer 1

Para agregar el pesimismo en la búsqueda de tales prime $p$ que no puede ser escrito como la suma de $3$ co-divisores de cubo, que he dibujado imágenes:

El número de formas de escribir un número entero $p$ como la suma de $x+y+z$ donde $x\cdot y\cdot z=c^3$.

($\color{red}{\bf{red}}$ puntos $-$ compuesto de números, $\bf{black}$ puntos $-$ números primos)

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$$p\le 500$$

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$$p\le 5\;000$$

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$$p\le 50\;000$$

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$$p\le 500\;000$$

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$$p\le 5\;000\;000$$

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Puntos de Control:
$p=486$ (compuesto): $1$ manera: $486 = 162+162+162$;
$p=2048$ (compuesto): $2$ formas: $2048 = 128+720+1200 = 224+256+1568$;
$p=6656$ (compuesto): $3$ formas: $\small {6656 = 416+2340+3900 = 512+1536+4608 = 728+832+5096}$;
$p=7559$ (prime): $4$ formas: $\scriptsize{7559 = 9+50+7500 = 114+225+7220 = 135+1024+6400 = 722+2809+4028}$;
$p=26624$ (compuesto): $5$ formas;
$p=58757$ (prime): $10$ formas;
$p=80429$ (prime): $13$ formas;
$p=111611$ (prime): $15$ formas;
$...$

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Estas imágenes fueron hechas en estilo como aquí.
(Ya he visto las imágenes de Goldbach es una conjetura, he perdido toda esperanza de encontrar la contradicción de la misma).

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Método de búsqueda:

para construir la matriz de $a[3N]$ para almacenar el número de maneras;

$a[p]$ es el número de maneras de escribir $p$ de dicha suma; (inicialmente, cada una de las $a[j]=0$);

para $c = 1 ... N$
$\quad$ crear una lista de primos divisores de $c^3$;
$\quad$ (no es suficiente para saber en primer descomposición de $c$)
$\quad$ para cada par $x,y$ de los divisores de a $c^3$ encontrar $z=\dfrac{c^3}{xy}$;
$\quad$ si $z\in\mathbb{Z}$ e si $x\le y\le z$, luego de aumentar el $a[x+y+z]$.

(si $c>N$, entonces la suma de co-divisores de $c^3$ es mayor que $3N$).

Answer 2

Dos comentarios sobre el positivismo en David Speyer del método.

En primer lugar, podemos tomar $x,y > 0$$p = x^2 + x y + y^2,$, lo que podemos hacer al $p \equiv 1 \pmod 3.$ $p = u^2 + u v + v^2,$ $u>0$ pero $v < 0.$ Si $u+v > 0,$ podemos usar $p = (u+v)^2 + (u+v)(-v) + (-v)^2$ para obtener todo lo que es positivo, ya que tanto $u+v, -v > 0.$ Si $u+v <0,$ cambiar a $u^2 + u(-u-v)+ (-u-v)^2.$

A continuación, se obtiene otra buena con una forma indefinida $$\color{blue}{x^2 + 4 x y + 2 y^2.}$$

Lema: todos (positivo) prime $p \equiv \pm 1 \pmod 8 $ puede ser escrito como $p = u^2 - 2 v^2$ $u > 2v.$

Prueba. Tomar la representación de $p = u^2 - 2 v^2$ tal que $v$ tiene la menor posible valor positivo, con $u>0.$ tenga en cuenta que $u > v \sqrt 2,$ $u$ es impar. Llegamos un poco diferente de la representación con $(u,-v).$ el Próximo, se aplica el generador de la automorphism grupo de $x^2 - 2 y^2$ para obtener otra representación, $$ (3u-4v, 2u-3v). $$

Ahora, si $2u - 3v \leq 0, $ por minimality de $|v|$ también conseguimos $2u - 3 v \leq -v,$ $2u \leq 2v$ $u \leq v.$ Esto contradice $u > v \sqrt 2.$

Por lo tanto, $2u - 3 v > 0,$ y minimality dice de nuevo: $2u-3v > v.$ Esto nos da $2u>4v$ $u > 2v.$

Así que tenemos $u > 2 v.$ Definir $$ x = u - 2 v, \; \; y = v. $$ $$ p = x^2 + 4 x y + 2 y^2 = u^2 - 2 v^2, $$ con tanto $x,y > 0.$

EDICIÓN del jueves, 21 de agosto. El resto de los números primos son $5,11 \pmod 24.$ todos Estos son representados por $2x^2 + 3 y^2,$ pero la desgracia es que esto no da ningún cubos; además, parece que no $SL_2 \mathbb Z$-forma equivalente, un producto de los tres coeficientes de un cubo. Así, la mejor que he venido para arriba con es $$ 14 x^2 + 36 xy + 147 y^2. $$ La parte buena es que los cubos. hay dos partes malas: no sólo representa los números primos $5,11 \pmod {24},$, pero con la restricción adicional es que el primer no ser un residuo cuadrático $\bmod {17}.$ Además, con una positividad de restricción, como en el problema original, que representa sólo alrededor de la mitad de aquellos. Así que, todo sea dicho, se da sólo alrededor de una cuarta parte de los restantes números primos, tales como $$ 197, 677, 1907, 1979, 2213 , 2237, 3083, 3803, 4091, 6011, 7349, 8429 , 10139 , 10781, 11213, \ldots $$

Así, no está mal, pero no excelente, cerca de 13/16 de los números primos hasta el momento.

EDICIÓN, el viernes 22 de agosto.

Parece que todos los números primos $p > 0$ $(p|5) = 1$ $(p|11) = 1$ están representados por $$ x^2 + 25 xy + 5 y^2 $$ con $x,y > 0.$ creo que tengo la prueba; se inicia con una elemental argumento de que la misma puede ser llevada a cabo por $x^2 + 23 xy- 19 y^2,$, a continuación, algunos de tocar el violín con inadecuada automorphs similar a la prueba de $x^2 + 4 x y + 2 y^2$, pero con más pasos.

EEEDDDIIIITTTTTTT, sábado, 23 de agosto:

TEOREMA: dado un primer $p > 30$ $(p|5)=1$ $(p|11)=1,$ podemos escribir $ p = x^2 + 25 x y + 5 y^2 $ con enteros positivos $x,y.$

Tome el primer $p > 0$ y enteros $s,t > 0$ con $$ p = s^2 - 605 t^2. $$ Note that $s > t \sqrt {605} \approx 24.5967 t.$Entonces podemos escribir $$ p = x^2 + 23 x y - 19 y^2, $$ con $x = s - 23 t, \; \; y = 2 t,$, de modo que $x,y >0.$

Ahora, encontrar el menor entero positivo $v$ tal, que no es otro entero positivo $u$ con $$ p = u^2 + 23 u v - 19 v^2. $$

Lema: dado $ p = x^2 + 23 x y - 19 y^2 $ $y < 0,$ $y \leq -v.$

Prueba: si $x < 0,$ obtenemos una representación de enteros positivos $(-x,-y),$ $-y \geq v.$ Si $x > 0,$ nota de que $$ x > \frac{\sqrt {605} + 23}{2} |y| \approx 23.798 |y|. $$ Por lo tanto, la nueva representación $(x + 23 y, -y)$ está de nuevo en positivos y $-y \geq v.$

Corolario: si $ p = x^2 + 23 x y - 19 y^2 $ $x <0, y >0,$ $y \geq v.$

De vuelta a la mínima $(u,v),$ positivos. Nota $$ u > \frac{\sqrt {605} - 23}{2} v \approx 0.798 v. $$

Hay otra representación, $$(4u-3v,5u-4v)$$ Sabemos $5u-4v \neq 0$ $p$ no es un cuadrado. Si $5u-4v < 0,$ $5u-4v \leq -v,$ $5u < 3 v.$ Pero esto da $u < 0.6 v,$, mientras que en realidad, $u > 0.798 v. $

Por lo tanto, $5u-4v > 0,$ con lo $5u - 4 v \geq v.$ $5 u \geq 5 v$ $u \geq v.$ Finalmente, como $u,v$ son relativamente primos, ellos no son iguales a menos que ambos son en realidad $1,$ dar el primer $5.$ $p > 5,$ obtenemos $u > v.$

Finalmente, finalmente, por último, podemos escribir $$ \color{blue}{ p = x^2 + 25 x y + 5 y^2} $$ con $$ x = u - v, y = v $$ ambos positivos.

Answer 3

Aquí es un intento de que no a todo el trabajo. En este post, $\left( \frac{a}{p} \right)$ es el de residuos cuadráticos símbolo.

Si $\left( \frac{-3}{p} \right) = 1$, $p$ es de la forma $x^2+xy+y^2$.

Si $\left( \frac{85}{p} \right) = 1$, $p$ es de la forma $9 x^2 + 25 xy + 15 y^2$ o $3 x^2 + 25 xy + 45 y^2$.

Si $\left( \frac{-255}{p} \right) = 1$, $p$ es de uno de los formularios $x^2+xy+64 y^2$, $2 x^2 + xy + 32 y^2$, $4 x^2 + xy + 16 y^2$, $8 x^2 + xy + 8 y^2$, $3 x^2 + 3 xy + 22 y^2$, $5 x^2 + 5 xy + 14 y^2$, $6 x^2 + 3 xy + 11 y^2$ o $7 x^2 + 5 xy + 11 y^2$.

Ahora, uno de los tres cuadrática de los residuos debe ser $1$, ya que el $\left( \frac{-255}{p} \right) = \left( \frac{-3}{p} \right)\left( \frac{85}{p} \right)$. Y para muchas de las formas cuadráticas anterior, podemos ganar: $(x^2)(xy)(y^2)$, $(9 x^2)(25 xy)(15 y^2)$, $(3 x^2)(25 xy)(45 y^2)$, $(x^2)(xy)(64 y^2)$, $(2 x^2)(xy)(32 y^2)$, $(4 x^2)(xy)(16 y^2)$ y $(8 x^2)(xy)(8 y^2)$ son todos los cubos. Por desgracia, la última $4$ cuadráticas formas de discriminante $-255$ no trabajo escrito en forma reducida. Todavía no he hecho una búsqueda seria para ver si algunas de cambio de base puede poner en la forma$a x^2 + bxy + c y^2$, $abc$ un cubo.

Además, no sabemos cuáles son los signos de $x$$y$, por lo que esto no necesariamente nos tres positivos enteros cuyo producto es un cubo.

Aún así, me siento optimista de que podemos ser capaces de encontrar suficiente formas cuadráticas de la forma$a x^2 + bxy + c y^2$,$abc=1$, para cubrir todos los números primos, al menos si hacemos caso de la señal de problema.

Answer 4

Escribí el siguiente JavaScript, que está diseñado para ejecutarse en Windows Script host:

• isprime(n) - determinar si un número es primo través del método de la fuerza bruta
• showmagic(f, txt) - escribe una línea a ambos lados de la pantalla y el archivo de texto
• findmagic(f, n) - detecta y escribe la magia para un determinado prime
• principales pruebas de los primeros 500 números

Guardar la secuencia de comandos a un archivo JavaScript, decir magic.js e invocar cscript magic.js desde el símbolo del sistema para ejecutar la secuencia de comandos utilizando la versión de la consola de Windows Script Host. Porque está escrito en JavaScript, la secuencia de comandos se presenta de manera exponencial más lento a ejecutar si la ponemos a prueba el primer 10000 números.

function isprime(n) {
  if (n < 2) return false;
  for (var i=2; i*i<=n; i++)
    if (n % i === 0) return false;
  return true;
}

function showmagic(f, txt) {
  f.WriteLine(txt);
  WScript.Echo(txt);
}

function findmagic(f, n) {
  for (var i=1; i<=n-2; i++) {
    for (var j=1; j<=n-1-i; j++) {
      var k=n-i-j;
      var c3=i*j*k;
      for (var c=1; c*c*c<=c3; c++) {
        if (c*c*c === c3) {
          showmagic(f, n + "=" + i + "+" + j + "+" + k + " ; " + i + "*" + j + "*" + k + "=" + c + "^3");
          return;
        }
      }
    }
  }
  showmagic(f, n + "=no magic");
}

var fso = new ActiveXObject("Scripting.FileSystemObject");
var f = fso.CreateTextFile("magic.txt", true);
for (var n=1; n<=500; n++)
  if (isprime(n))
    findmagic(f, n);
f.Close();