¿Que $k$ lo $k$ poderes de th de las raíces de un polinomio da una base para un campo numérico?

Question

Deje $f \in \mathbb{Q}[x]$ de degreee $d$ ser irreductible, con raíces $\alpha_1,\ldots, \alpha_d$. Uno en particular de base para la extensión de campo de $\mathbb{Q}$ obtenido por contigua a las raíces de $f$ está dado por $\{\alpha_j\}_{j=1}^d$. Para que $k$ ¿el conjunto de $\{\alpha_j^k\}_{j=1}^d$ también proporcionan una base?

Si esto es en general una pregunta difícil, podría yo, al menos, demostrar que puedo obtener una base para infinidad de $k$?

Ejemplo: Considere el polinomio $x^2-2$. El $k$th potencias de las raíces $\{\pm \sqrt{2}\}$ proporcionar una base para mi extensión de campo, precisamente, al $k$ es impar.

Edit: Como Gerry Myerson puntos, y como mi ejemplo indica, de hecho, estoy más interesado en cuando la $k$th potencias de las raíces de generar la extensión de más de $\mathbb{Q}$. Llamar a esto un $\mathbb{Q}$-base era errónea.

Answer 1

Deje $L$ ser un campo de característica $0$ $K$ finita simple separables de extensión, con elemento primitivo $\alpha \in K$. Deje $E$ ser el galois cierre de $K$$L$. Así que tenemos una torre de campos de $L \subset L(\alpha)=K \subset E$. Ahora, si por alguna $k \in \mathbb N$ tenemos que $L(\alpha^k) \subsetneq K$, entonces existe una $\sigma \in \mathrm{Gal}(E,L)$ fijación $\alpha^k$ que no soluciona $\alpha$. Ahora$\sigma(\alpha^k)=\sigma(\alpha)^k=\alpha^k$, en particular, $\sigma(\alpha)$ es una solución a $x^k-\alpha^k$ e lo $\sigma(\alpha)=\zeta \alpha$ donde $\zeta$ $k$- ésima raíz de la unidad. Vemos que hay un número finito de automorfismos de a $E$ $L$ y ya hay infinitamente muchos $p$-th raíces de la unidad, tenemos que $L(\alpha^p)=L(\alpha)$ para todos, pero un número finito de números primos $p$. Este luego se extiende, naturalmente, para el caso de $n$ generadores tomando las intersecciones.

En el caso de que el campo base es $L=\mathbb Q$ podemos hacer de este un poco más eficaz señalando que si $\varphi(p)>[\mathbb Q(\alpha): \mathbb Q]$ $\alpha^p$ es todavía un generador. Que puede ser extendida a compuesto por números de imponer las mismas restricciones sobre los factores primos. Pero esto no necesariamente cuentan toda la historia. Para la mayoría de los primitivos generadores yo esperaría que para cada $k \in \mathbb N$ $\alpha^k$ genera el campo. Implícito en mi argumento anterior es la observación de que $\alpha^k$ no genera $L(\alpha)$ si y sólo si $\min_L(\alpha) \mid x^k-\alpha^k$. Que a mí me parece un caso excepcional.