¿Son dos filtros genéricos en una extensión genérica común?

Question

Deje $M$ ser una contables transitiva conjunto. Supongamos $\mathbb{P}$ es un obligando a en $M$. Deje $G$ $H$ ser dos de los filtros genéricos para$\mathbb{P}$$M$.

Mis preguntas son:

Hay un obligando a $\mathbb{Q}$ y un genérico $K$ a esta obligando a más de $M$ tal que $G,H \in M[K]$?

Si la respuesta es sí, puede que esto $\mathbb{Q}$ ser elegido que sólo dependen de $\mathbb{P}$ y no el de los filtros de $G$$H$?

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Si $M$ $H$ son mutuamente $\mathbb{P}$-genérico entonces, por definición, $\mathbb{Q}$$\mathbb{P}\times\mathbb{P}$. Así que la principal dificultad es el caso cuando los dos filtros no son mutuamente genérico.

Gracias por la comprensión.

Answer 1

Tal $\mathbb{Q}$ no puede existir. De hecho, podemos encontrar dos reales $x,y$, tanto Cohen $M$, de tal manera que no hay ampliación de la $M$ con el mismo ordinales contiene $x,y$. La idea es tomar una codificación real del modelo en su totalidad $M$ y, a continuación, se disfrazan por la ruptura entre los dos Cohen reales.

Joel David Hamkins tiene un manuscrito que aquí se describe el argumento, que él atribuye a Woodin. Él también se identifica una gran clase de posets que exhiben el mismo tipo de no-amalgability fenómeno (cualquier $\mathbb{P}$ no $|\mathbb{P}|$-cc por debajo de cualquier condición tendrá incompatible genéricos).