Estoy tratando de encontrar los valores y vectores propios de la siguiente matriz de 4x4 "tablero de ajedrez":
$$ \mathbf C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$$
Este es mi enfoque:
$$ \det(\mathbf C - \lambda \mathbf I) = \begin{vmatrix} -\lambda & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -\lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda & 1 \\ 1 & 0 & 1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$$
De esto obtengo un polinomio característico de:
$$\lambda^4 - 4\lambda^2 = \lambda^2(\lambda - 2)(\lambda + 2)$$
Así que eso daría valores propios de 2, -2, 0, 0.
Para el valor propio $\lambda_1 = 2$ obtengo el vector propio de: $$v_1 = \begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}$$
Para el valor propio $\lambda_2 = -2$ obtengo el vector propio de: $$v_2 = \begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}$$
Parece que esto se comprueba. Si multiplico $C v_1$ Me sale $\lambda_1 v_1 = 2 v_1$ . Si multiplico $C v_2$ Me sale $\lambda_2 v_2 = -2 v_2$ .
Mi profesor no está de acuerdo. Afirma que los valores propios deben ser 2, 2, 0, 0, y que los dos vectores propios correspondientes asociados al valor propio de 2 son:
$$v_1' = \begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix} \qquad v_2' = \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}$$
Mi profesor afirma además:
Intenta multiplicar los vectores $v'_1$ y $v'_2$ por $\mathbf C$ y verás que, efectivamente, ambos son vectores propios con valor propio 2.
Eso me sigue pareciendo mal. Hice lo que me sugirió y
$$ C v'_1 = \begin{pmatrix}2\\0\\2\\0\end{pmatrix} \neq 2 v'_1 \qquad C v'_2 = \begin{pmatrix}0\\2\\0\\2\end{pmatrix}$$
Creo que aquí hay un sutil error. $C v'_1 = 2 v'_2$ y $C v'_2 = 2 v'_1$ pero eso es irrelevante, ¿correcto? Eso no hace que el valor propio de $\lambda = 2$ tiene una multiplicidad de 2, ¿verdad?
