¿Los datos del grupo de Galois, lugares ramificados, y el grupos de inercia, determinar un campo de número de Galois?

Question

Supongamos que te digo que la $K/\mathbb{Q}$ es un finita de Galois de la extensión, y especificar el grupo de Galois $G$, y supongamos, además, que yo te de una lista finita $S$ de las plazas de $\mathbb{Q}$, y en cada lugar en el $p$ una clase conjugacy $C_p$ de los subgrupos de $G$, y se los digo de $K/\mathbb{Q}$ es ramificado, precisamente en los lugares de $p$ de %de $S$, con la inercia de los grupos de $C_p$.

Es esto suficiente información para recuperarse $K$?

Si no, ¿puede dar un contraejemplo? Si es así, ¿pueden ustedes darme algunas fuentes (o, si la prueba no es demasiado difícil, se puede indicar las líneas de la prueba)?

ANEXO 8 de agosto: Para aclarar un punto. La lista de $S$ se permite la inclusión de la infinita lugar. Si el infinito lugar es ramificado, es decir, si $K$ no es un verdadero campo, entonces, la fijación de algunos de incrustación de $K$ en $\mathbb{C}$, $G$ contiene complejo de la conjugación y la correspondiente clase conjugacy $C_\infty$ es que el subgrupo generado por el complejo de la conjugación. Así, los datos de $S,\{C_p\}$ que partimos incluye si el infinito lugar es ramificado.

Answer 1

Yo diría que no. Por ejemplo, tomar $K=\mathbb Q(i)$ y $L=\mathbb Q(\sqrt{2})$, que son no-isomorfo número de campo. Ambas se ramifican en $2$, y el subgrupo de inercia en $2$ es todo el grupo de Galois. Así que si te digo $G=C_2$, $S=\{2\}$ y $C_2=G$, no son capaces de recuperar exactamente uno entre $K$y $L$.

Answer 2

Pour $K$ $L$ son distinguidos por el infinito, pero se me inspiró a buscar cuadrática simple contraejemplos:

Tome $K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$$L=\mathbb{Q}(\sqrt{6})$. Estos son los dos ramificado en 2 y 3, y debido a que el grupo de Galois de los dos es $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, cuyo único subgrupo no trivial es el de todo el grupo, la inercia de los grupos a los 2 y 3 debe ser la de todo el grupo. A continuación, $K$ $L$ pueden ser distinguidos por la información que se especifica en la pregunta.

En realidad, para cualquier squarefree $m$ $>0$ $3$ mod $4$, $K=\mathbb{Q}(\sqrt{m})$ y $L=\mathbb{Q}(\sqrt{2m})$ siempre se proporcione un contraejemplo, porque el discriminantes se $4m$ $8m$ y estos son divisibles por el mismo de los números primos, por lo que se ramifica en los mismos lugares.