Series Infinitas $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(H_n)^2}{n^3}=\frac{7}{2}\zeta(5)-\zeta(2)\zeta(3)$

Question

Cómo probar que $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(H_n)^2}{n^3}=\frac{7}{2}\zeta(5)-\zeta(2)\zeta(3)$$

$H_n$ denota la armónica de los números.

Answer 1

Identidades como esto puede ser comprobado con la ayuda de Cauchy del teorema de los residuos. Si $f$ es una función de meromorphic tal que $\lvert f(z)\rvert=o(z^{-1})$ $\lvert z\rvert\to\infty$ en una secuencia de círculos concéntricos sobre el origen, el residuo teorema da $$ \begin{align} \sum_a {\rm Res}(f,a)=0.&&{\rm(1)} \end{align} $$ Aquí, la suma es sobre todos los polos de $f$ ${\rm Res}(f,a)$ es el residuo de $f$$a$. La parte difícil es encontrar el derecho de la función $f$. Flajolet & Salvy¹ mostrará cómo probar un conjunto de identidades de esta forma. Por ejemplo (todas las cantidades son más de $n=1$$\infty$), $$ \begin{align} &\sum\frac{H_n}{n^2}=2\zeta(3),\\ &\sum\frac{H_n}{n^3}=\frac54\zeta(4),\\ &\sum\frac{H_n}{n^4}=3\zeta(5)-\zeta(2)\zeta(3),\\ &\sum\frac{(H_n)^2}{n^2}=\frac{17}{4}\zeta(4),\\ &\sum\frac{(H_n)^2}{n^3}=\frac72\zeta(5)-\zeta(2)\zeta(3),&&{\rm(2)}\\ &\sum\frac{(H_n)^2}{n^4}=\frac{97}{24}\zeta(6)-2\zeta(3)^2,\\ &\sum\frac{(H_n)^3}{n^4}=\frac{231}{16}\zeta(7)-\frac{51}{4}\zeta(3)\zeta(4)+2\zeta(2)\zeta(5) \end{align} $$ También tenemos el conjunto de identidades debido a Euler (por $q\ge2$) $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{H_n}{n^p}=\left(1+\frac q2\right)\zeta(q+1)-\frac12\sum_{k=1}^{q 2}\zeta(k+1)\zeta(p-k). $$ Se menciona en Flajolet & Salvy que las identidades de esta forma no siempre existen y, en particular, es poco probable que cualquier ser finito fórmula para $\sum (H_n)^3/n^q$ en términos de valores zeta al $q$ es un número impar superior a $10$.

Te voy a dar la función de $f$ que genera la identidad (2) solicita, la siguiente Flajolet & Salvy (especializada para este ejemplo). Deje $\psi$ ser la función digamma $$ \psi(z)=\frac{d}{dz}\log\Gamma(z)=-\gamma\frac1z+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac1n-\frac1{n+z}\right). $$ Este está delimitado por $O(\lvert z\rvert^\epsilon)$ en círculos de radio $n+1/2$ sobre el origen y los postes en los números enteros no negativos. Para probar la identidad necesaria (2), es más fácil romper este en tres identidades (aunque, se podría agregar las tres opciones de $f$ abajo y hacerlo de una sola vez).

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Tomando la función de $f(z)=\frac13z^{-3}\left(\psi(-z)+\gamma\right)^3$, esto tiene polos en los números enteros no negativos. Expanda cada término acerca de la $0$ y enteros positivos $n\gt0$, $$ \begin{align} &\psi(-z)+\gamma=\frac1z-\zeta(2)z-\zeta(3)z^2-\zeta(4)z^3-\zeta(5)z^4+O(z^5)\\ &\psi(-n-z)+\gamma=\frac1z+H_n-\left(H_n^{(2)}+\zeta(2)\right)z+O(z^2)\\ &(n+z)^{-3}=n^{-3}-3n^{-4}z+6n^{-5}z^2+O(z^3) \end{align} $$ Aquí, $H_n^{(2)}$ es la generalizada número armónico $\sum_{k\le n}k^{-2}$. La multiplicación de los términos juntos y la extracción de los coeficientes de $z^{-1}$ da a los residuos de $f$. $$ \begin{align} &{\rm Res}(f,0)=2\zeta(2)\zeta(3)-\zeta(5),\\ &{\rm Res}(f,n)=n^{-3}(H_n^2-H_n^{(2)}-\zeta(2))-3n^{-4}H_n+2n^{-5}. \end{align} $$ Suma más de $n$ y aplicando el teorema de los residuos, $$ \begin{align} \sum\frac{H_n^2}{n^3}-\sum\frac{H_n^{(2)}}{n^3}-3\sum\frac{H_n}{n^4}+\zeta(5)+\zeta(2)\zeta(3)=0.&&{\rm(3)} \end{align} $$ Ahora, veamos la función de $f(z)=\frac12z^{-4}\left(\psi(-z)+\gamma\right)^2$. De nuevo, esto tiene polos en los números enteros no negativos. El uso de las expansiones anteriores juntos con $$ (n+z)^{-4}=n^{-4}-4n^{-5}z+O(z^2) $$ se pueden calcular los residuos como antes $$ \begin{align} &{\rm Res}(f,0)=\zeta(2)\zeta(3)-\zeta(5),\\ &{\rm Res}(f,n)=n^{-4}H_n-2n^{-5}. \end{align} $$ Aplicando el teorema de los residuos de nuevo da $$ \begin{align} \sum\frac{H_n}{n^4}-3\zeta(5)+\zeta(2)\zeta(3)=0.&&{\rm(4)} \end{align} $$ Finalmente tome $f(z)=\frac12\pi z^{-3}\cot(\pi z)\psi^\prime(-z)$ y el uso de las expansiones $$ \begin{align} &\psi^\prime(-z)=z^{-2}+\zeta(2)+2\zeta(3)z+3\zeta(4)z^2+4\zeta(5)z^3+O(z^4)\\ &\psi^\prime(-n-z)=z^{-2}+H_n^{(2)}+\zeta(2)+O(z)\\ &\psi^\prime(n-z)=\zeta(2)+n^{-2}-H_n^{(2)}+O(z)\\ &\pi\cot(\pi(\pm n+z))=z^{-1}-\frac13\pi^2z+cz^3+O(z^5)=z^{-1}-2\zeta(2)z+cz^3+O(z^5) \end{align} $$ (algunas constantes $c$) para calcular los residuos de $$ \begin{align} &{\rm Res}(f,0)=2\zeta(5)-2\zeta(2)\zeta(3),\\ &{\rm Res}(f,n)=\frac12n^{-3}(H_n^{(2)}-\zeta(2))+3n^{-5},\\ &{\rm Res}(f,-n)=-\frac12n^{-3}(\zeta(2)+n^{-2}-H_n^{(2)}). \end{align} $$ Suma más de $n$ y aplicando el teorema de los residuos, $$ \begin{align} \sum\frac{H_n^{(2)}}{n^3}+\frac92\zeta(5)-3\zeta(2)\zeta(3)=0.&&{\rm(5)} \end{align} $$ La adición de identidades (3), 3 veces (4) y (5) da el resultado deseado.

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Sólo voy a añadir una nota en la que el uso de la función digamma, cotangente y residuos teorema anterior no son realmente necesarios. Se ha mencionado en Noam D. Elkie la respuesta de que tales resultados pueden ser probadas por la primaria, pero inteligente, manipulaciones algebraicas. Aplicado a funciones racionales, el residuo teorema da identidades algebraicas que pueden ser fácilmente verificada. También, la función digamma y cotangente se puede expresar como sumas de términos de la forma $i^{-1}-(i+z)^{-1}$ más entero $i$. Así, la expansión de las funciones de $f$ por encima como infinitas sumas de funciones racionales antes de aplicar el teorema de los residuos reduce el argumento que implica sumar más elemental de las identidades. En particular, aplicar el teorema de los residuos para las funciones $\frac1{z^2}(\frac1i-\frac1{i-z})(\frac1j-\frac1{j-z})$, $\frac1{z^3}(\frac1i-\frac1{i+z})\frac1{(j-z)^2}$ y $\frac1{z^3}(\frac1i-\frac1{i-z})(\frac1j-\frac1{j-z})(\frac1k-\frac1{k-z})$ da, respectivamente, $$ \begin{align} &\frac1{i^4}\left(\frac1j-\frac1{j-i}\right)+ \frac1{j^4}\left(\frac1i-\frac1{i-j}\right)+\frac1{i^2j^3}+\frac1{i^3j^2}=0,\\ &\frac3{j^4}\left(\frac1i-\frac1{i+j}\right)-\frac1{j^3(i+j)^2}-\frac1{i^3(i+j)^2}-\frac2{i^2j^3}+\frac1{i^3j^2}=0,\\ &\sum_{(ijk)}\frac1{i^3}\left(\frac1j-\frac1{j-i}\right)\left(\frac1k-\frac1{k-i}\right)=0. \end{align} $$ En la última identidad, la suma se refiere a la suma de las tres permutaciones cíclicas de $i,j,k$. Sumando estas identidades más de enteros positivos $i,j,k$ y la cancelación de términos de la forma $\frac1i$ $\frac{-1}{i\pm j}$ conduce a la identidad de las personas (3,4,5) anterior.

¹Euler sumas y contorno integral representaciones, P. Flajolet, B. Salvy, Experimentales Matemáticas Volumen 7, número 1 (1998), 15-35. (enlace)

Answer 2

Una manera sistemática de la prueba de identidades como este es escribir todo en términos de múltiples armónicos sumas y múltiples valores zeta . Para los números enteros $s_1,\ldots,s_k,n\geq 1$, podemos definir los múltiples armónica de la suma (o MHS) $$ H_n(s_1,\ldots,s_k):=\sum_{n\geq n_1>\ldots>n_k\geq 1}\frac{1}{n_1^{s_1}\ldots n_k^{s_k}}\in\mathbb{Q}. $$ El MHS $H_n(1)$ es lo que se llama $H_n$. También definimos los múltiples zeta valor (o MZV) $$ \zeta(s_1,\ldots,s_k):=\sum_{n_1>\ldots>n_k\geq 1}\frac{1}{n_1^{s_1}\ldots n_k^{s_k}}\in\mathbb{R}, $$ donde tenemos $s_1\geq 2$ a garantizar la convergencia.

La siguiente relación entre MHS y MZV es fácil de comprobar, y será útil: $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n(s_1,\ldots,s_k)}{n^s}=\zeta(s,s_1,\ldots,s_k)+\zeta(s+s_1,s_2,\ldots,s_k). $$

MHS y MZV de satisfacer lo que se llama un cuasi-aleatoria de identidad. Un ejemplo de esto es dado por la siguiente: \begin{eqnarray*} H_n(1)^2&=&\left(\sum_{n_1=1}^n\frac{1}{n_1}\right)\left(\sum_{n_2=1}^n\frac{1}{n_2}\right)\\ &=&\left(\sum_{n\geq n_1>n_2}+\sum_{n\geq n_2>n_1}+\sum_{n\geq n_1=n_2}\right)\frac{1}{n_1n_2}\\ &=&2H_n(1,1)+H_n(2). \end{eqnarray*}

A partir de la relación entre MHS y MZV y la cuasi-aleatoria de identidad, el lado izquierdo de su identidad es igual a $$ 2\zeta(3,1,1)+2\zeta(4,1)+\zeta(3,2)+\zeta(5). $$

La expresión $\zeta(2)\zeta(3)$ también puede ser ampliado con una cuasi-aleatoria de identidad: $$ \zeta(2)\zeta(3)=\zeta(2,3)+\zeta(3,2)+\zeta(5). $$ Esto significa que su identidad es equivalente a la identidad MZV $$ 2\zeta(3,1,1)+2\zeta(4,1)+2\zeta(3,2)+\zeta(2,3)=\frac{3}{2}\zeta(5). $$ Esta identidad es lineal y homogénea (es decir, cada MZV $\zeta(s_1,\ldots,s_k)$ que aparece satisface $s_1+\ldots+s_k=5$).

Hay una tonelada de literatura en la producción homogénea de las relaciones entre los múltiples valores zeta. Una clase general de las relaciones, llamado el extendido doble shuffle relaciones, se conjetura que incluyen todas las relaciones.

La identidad de la siguiente manera tomando una combinación lineal de las siguientes MZV relaciones, que se pueden encontrar en la literatura: la doble shuffle relación aplicada a $\zeta(2)\zeta(3)$ (véase la Derivación y el doble shuffle relaciones para varios valores zeta, por Ihara, Kaneko, y Zagier): $$ \zeta(5)=2\zeta(3,2)+6\zeta(4,1), $$ la dualidad se aplica a $\zeta(3,1,1)$ (esto es una consecuencia de una expresión de Konstsevich para MZV como integrales iteradas, ver El álgebra de múltiples armónicos de la serie, por Hoffman): $$ \zeta(3,1,1)=\zeta(4,1), $$ y la fórmula de la suma (conocido en este caso por Euler y comprobado en el caso general de forma independiente por Granville y Zagier, la declaración también se puede encontrar en El álgebra de múltiples armónicos de la serie): $$ \zeta(2,3)+\zeta(3,2)+\zeta(4,1)=\zeta(5). $$

Answer 3

Este es un resultado conocido; una referencia explícita es [PP, la ecuación (3c)]. La prueba de que hay elemental (sin necesidad de digamma funciones, las integrales definidas y las integrales de contorno, etc.), pero no trivial, que requieren manipulaciones inteligentes con identidades como $1/XY = 1/(X(X+Y)) + 1/(Y(X+Y))$. Como Julian Rosen señaló, la suma de los importes se expresan a menudo en términos de varios zeta funciones, tales como el doble y el triple de los zetas $$ \zeta(a,b) = \mathop{\sum\sum}_{0<m<n} \frac1{m^n^b}, \quad \zeta(a,b,c) = \mathop{\sum\sum\sum}_{0<l<m<n} \frac1{l^m^n^c}. $$ He encontrado [PP] a través de Michael Hoffmann lista de Referencias en varios valores zeta y Euler sumas. [PP] cita un documento de Borwein y Girgensohn [BG], donde la llave de triple zeta valor $\zeta(3,1,1) = 2 \zeta(5) - \zeta(3) \zeta(2)$ es dada en la página 21, junto con la nota que todos estos valores de peso en la mayoría de los 6 aparecen en [M]. De hecho, aquí el peso es $3+1+1 = 5 \leq 6$ y el resultado es el caso de $p=3$ del Teorema 4.1, que aparece explícitamente como la ecuación (4.2) en la página 126.

Referencias

[BG] J. Borwein y R. Girgensohn, Evaluación de triple Euler sumas, Revista electrónica de la Combinatoria 3, documento de investigación nº 23, 1996.

[M] C. Markett: Triple sumas y la de Riemann zeta función, J. Teoría De Los Números 48 (1994), 113$-$132.

[PP] Alois Panholzer y Helmut Prodinger: Equipo libre de la evaluación de una infinita suma doble a través de Euler sumas, Séminaire Lotharingien de Combinatoire 55 (2005), Artículo B55a.