¿Es $\mathbb{C}$ algebraicamente cerrada (en un sentido fuerte)?

Question

Deje $p,q$ ser polinomios en $\mathbb{C}[x,y]$ de manera tal que el ideal de $(p,q)$ es un buen ideal de $\mathbb{C}[x,y]$. ¿Existen los números complejos $z,w$ tal que $$p(z,w)=0,\,\,\,\,\,q(z,w)=0\ ?$$

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Motivación:

Deje $K$ ser un campo y $f$ que no sea un polinomio constante en $K[x]$ que no tiene una raíz en $K$. Uno puede elegir una no-unidad irreductible factor de $p$ $f$ y la construcción de la extensión de campo $K[x]/(p)$. El campo resultante contendrá un isomorfo copia de $K$ y tienen una raíz a $f$.

Ahora bien, si intentamos hacer esto de dos variables. De nuevo vamos a $K$ ser un campo. Deje $p,q$ ser de dos polinomios en $K[x,y]$. Ahora si lo que ocurre es que $(p,q)=K[x,y]$, entonces no hay ninguna esperanza de encontrar un campo de extensión de $K$ que contendrá la solución a la concurrente ecuaciones $p=0,q=0$ por razones obvias (teniendo en cuenta la evaluación homomorphism). Si $(p,q)$ es un buen ideal de $K[x,y]$, entonces uno puede elegir un ideal maximal que contiene a $(p,q)$. Si establecemos $E=K[x,y]/I$, uno puede ver fácilmente que el campo $E$ contiene una isomorfo copia de $K$ y tiene soluciones para el concurrente ecuaciones $p=0,q=0$

Answer 1

Sí:

Una de las formas de Hilbert Nullstellensatz (una herramienta esencial en la geometría algebraica) es la declaración de que si $k$ es algebraicamente cerrado y $J$ es un ideal maximal de a $k[X_1,\dots,X_n]$ $J = (X_1-x_1,X_2-x_2,\dots,X_n-x_n)$ algunos $x_i$$k$.

Usando la notación $Z(S)$ para indicar los puntos en $k^n$ donde todos los polinomios en conjunto $S$ desaparecen simultáneamente, cualquier ideal $I$ está contenida en algunos máxima ideal $J$ de la forma anterior. A continuación,$Z(J)\subset Z(I)$, y claramente $Z(J)$ consiste exactamente en un punto, por lo $Z(I)$ contiene al menos en este punto, es decir, existe al menos un punto en $k^n$ donde todos los polinomios en la $I$ desaparecen simultáneamente.

Como una nota del lado, esta forma de Nullstellensatz es equivalente a la de varias otras formas, incluyendo la declaración de $"I(Z(I))=\sqrt{I}"$ que es una herramienta muy útil en la determinación de lo que los polinomios de desaparecer en un conjunto determinado de puntos en $k^n$, y también es útil en el cálculo de la radical de un ideal.