Potencia de una matriz de bloques con valores propios en el círculo unitario

Question

En la expresión
$$\begin{bmatrix}A & C \\ 0 & B\end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix}A^n & * \\ 0 & B^n\end{bmatrix},$$ Me pregunto si el término denota por * puede ser expresada en una forma simple cuando se asume lo siguiente: (1) $A$ tiene sus valores propios, sobre o dentro del círculo unidad. Aquellos en los unidad de círculo son simples; (2) $B$ tiene sus valores propios estrictamente en el interior del círculo unitario; (3) $A$ $B$ pueden tener diferentes dimensiones.

De hecho, estoy interesado por el valor de *$n \rightarrow \infty$. Sería $C(I-B)^{-1}$ al$A=I$, pero en un caso general, $A^n$, aunque limitada, puede no converger como $n \rightarrow \infty$. Así que, me pregunto si * puede tener una expresión simple.

Answer 1

Vamos

$$M (n) := \left[\begin{array}{cc} A & C\\ 0 & B\end{array}\right]^n = \left[\begin{array}{cc} A^n & U (n)\\ 0 & B^n\end{array}\right]$$

donde puedo llamar a $U (n)$ lo que usted llame a $*$. Por lo tanto, tenemos que $M (n+1)$ está dado por

$$M (n+1) = \left[\begin{array}{cc} A^{n+1} & U (n+1)\\ 0 & B^{n+1}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} A & C\\ 0 & B\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} A^n & U (n)\\ 0 & B^n\end{array}\right]$$

y, por lo tanto, obtenemos la siguiente matriz de la ecuación de diferencia

$$U (n+1) = A \, U (n) + C \, B^n$$

Tenga en cuenta que $U (0) = 0$, $U (1) = C$, y $U (2) = A \, C + C \, B$. El valor de $U (n)$ $n$ va al infinito, que denotamos por a $\bar{U}$, está dada por $\bar{U} = A \, \bar{U} + C B^{\infty}$, que los rendimientos de $\bar{U} = (I - A)^{-1} C B^{\infty}$. Ya que dicen que $B$ "tiene sus valores propios estrictamente dentro del círculo unidad", llegamos a la conclusión de que $B^{\infty} = 0$ y, por lo tanto, $\bar{U} = 0$. También se puede fácilmente obtener la solución general, que es

$$U (n) = A^n \, U (0) + \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} A^i \, C \, B^{n-1-i}$$

y desde $U (0) = 0$, la "respuesta natural" es cero y nos quedamos con la forzada "respuesta"

$$U (n) = \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} A^i \, C \, B^{n-1-i}$$