Anotación: ¿Qué significa esta suma?

Question

Necesito entender lo que significa el resumen de abajo. Específicamente no entiendo la $i<j$ por debajo de la suma.

$$ \sum_ { \substack { i<j}}^{N} d_{ij}$$

La comprensión de la ecuación Hay $N$ vectores y $d_{ij}$ es la distancia euclidiana entre dos vectores $i,j \in N $

Así que si $N=5$ ¿cómo funcionaría el resumen. Agradecería que se explicara en números para saber exactamente cómo se hace la suma.

Información adicional: Encontré esta anotación en este papel . Mirando sus respuestas y el contenido del documento creo que el significado que se pretende es

$$ \sum_ {j = 1}^{N} \sum_ {i<j} d_{ij} $$

Edición final: Hay un número de respuestas que explican completamente la notación. Ya que tengo que elegir una respuesta como la mejor, tengo que elegir la que explica la notación en detalle y gracias a todos por responder.

Answer 1

Creo que debería escribirse como

$$\sum_{1\leq i < j \leq N} {d_{ij}}. $$

De esta forma, queda claro que se suma todo $i,j$ que satisface la desigualdad $1\leq i < j \leq N$ .

Si $N=5$ Esto es igual a

$$d_{12} + d_{13} + d_{14} + d_{15} + d_{23} + d_{24} + d_{25} + d_{34} + d_{35} + d_{45}.$$

Answer 2

Es la abreviatura de $$ \sum_{j=1}^N \sum_{i=1}^{j-1}d_{ij}$$

Answer 3

$d_{12}+d_{13}+d_{14}+d_{15}+d_{23}+d_{24}+d_{25}+d_{34}+d_{35}+d_{45}$

Answer 4

Esta es una mala notación: una expresión de suma debería o bien implican una o varias relaciones que el índice de suma debe satisfacer, o especificar el límite inferior y superior de la suma sobre un intervalo contiguo, según el formato $\sum_{i=a}^b\ldots$ pero no se pueden mezclar los dos; sobre todo si el relación $i<j$ se utiliza a continuación, no hay ninguna interpretación posible para el $N$ anterior como límite superior de un intervalo .

Incluso sin la parte superior mal colocada $N$ La notación puede significar dos cosas diferentes, dependiendo del contexto. Tal y como lo has escrito ni $i$ ni $j$ parecen haber sido introducidos, y esto puede sugieren que ambos deben ser variados en la suma. Sin embargo, es mucho más habitual utilizar una única relación para introducir un único índice de suma, necesariamente el primero mencionado (aquí $i$ en lugar de $j$ ). Entonces la suma sólo sería sobre $i$ a partir de algún límite inferior no especificado (presumiblemente $~1$ , pero podría ser $~0$ en determinados contextos) hasta $j-1$ donde el valor de $j$ se supone que ya está fijado en ese punto.

Suponiendo que se trate de la primera interpretación (doble suma) sería mucho mejor escribirlo como $$ \sum_{j=1}^N \sum_{i<j} d_{i,j}, $$ lo que hace que la doble suma sea obvia; la posibilidad de esta alternativa mejor hace que me resulte improbable que la primera interpretación fuera realmente la que se pretendía. La segunda interpretación adolece principalmente de la imposibilidad de dar algún significado al límite superior $N$ (ya que $i$ ya está limitada por $j$ ); sin embargo, apuesto a que ésta era la interpretación que se pretendía.

Terminaré con una alternativa más para la expresión de la suma doble (la suma de todas las distancias entre pares desordenados de puntos distintos): $$ \sum_{1\leq i<j\leq N} d_{i,j}; $$ aquí el aspecto de doble suma de la notación es sugerido por la presencia de más de una relación (de hecho tres) en la expresión bajo el signo de la suma.