Diferencia entre el espacio de coordenadas y el espacio del vector.

Question

¿Soy nuevo en álgebra lineal e iba a través de este enlace, y me hizo saber - hay una diferencia técnica entre el espacio de coordenadas (e.g., $R^n$) y espacio vectorial? Si no es así, entonces ¿por qué hay 2 términos para el mismo concepto?

Gracias.

Answer 1

Recordemos que si un espacio vectorial tiene un número finito de base se dice que es el ser finito dimensional, y la dimensión se define como el número de vectores que componen esta base. Base (posiblemente finito) de los conjuntos de vectores que abarcan el espacio vectorial y son linealmente independientes. Se puede probar que todos los vectores en dicho espacio vectorial puede escribirse en una y sólo una forma como combinación lineal de estos vectores de la base. Decir $V$ $K$ espacio vectorial con base $B=\{v_1,\ldots,v_n\}$. Entonces, si tenemos $$v=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n$$

escribimos $(v)_B=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ e decir $v$ tiene coordenadas $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ en base a la $B$. Esto inmediatamente le da una asignación $V\to F^n$ $$v\mapsto (v)_B$$

Este es el mismo como la asignación de cada base de vectores $v_i$ $$(0,0,\ldots,\underbrace{1}_i,\ldots,0)$$ totalmente determina la transformación.

Tenga en cuenta que$0\mapsto (0,0,\ldots,0)$; $(v+w)_B=(v)_B+(w)_B$ $(\lambda v)_B=\lambda (v)_B$ así que esta es una transformación lineal, la cual le da un isomorfismo entre el$V$$F^n$. Esto significa $V$ $F^n$ son esencialmente los mismos como espacios vectoriales, es decir, "sólo hay un espacio vectorial de dimensión $n$ sobre un campo $F$ hasta isomorfismo."

Answer 2

Para una determinada dimensión $n$ un campo $k$, hay sólo un espacio vectorial de dimensión $n$ $k$ hasta isomorfismo y este espacio del vector es $k^n$, llamado el espacio de coordenadas vectoriales.