Cociente del módulo libre

Question

Que $R$ ser un anillo comutativo con $1$ y que $J$ un ideal apropiado de $R$ tal que $R/J \cong R^n$ como $R$ módulos donde $n$ es un número natural. ¿Esto implica que el $J$ es el ideal trivial?

Básicamente estoy intentando comprobar/refutar si $J$ es un ideal apropiado de $R$ $R/J$ es libre entonces $J=0$ y es sobre mi trabajo.

Answer 1

Corregirme si me equivoco, pero no es evidente eso si $J \neq 0$, $R/J$ no puede ser un # gratis $R$-mod porque nada en $J$ actúa por $0$ $R/J$. Por lo tanto una ecuación como $j.r = 0$ sostiene $j \neq 0$, que no puede suceder si $R/J$ estaba libre.

Answer 2

Sí. Una buena manera de verlo es a través de la annihilator $\operatorname{ann}(M)$ de un módulo $M$: es el conjunto de todos los $x \in R$ tal que $xm = 0$ % todos $m \in M$. Una muestra inmediatamente que $\operatorname{ann}(M)$ es un ideal de $R$ y que módulos isomorfos tienen igual aniquiladores.

Si usted toma aniquiladores de ambos lados de su isomorfismo $R/J \cong R^n$, usted obtendrá la conclusión deseada. Podría decir más, pero te lo dejo a usted por ahora porque este es un ejercicio muy importante y esclarecedor.

Answer 3

Tienes una epi $f:R\to R^n$. Tensoring él con $k=R/\mathfrak m$ $\mathfrak m\subset R$ ideal máximo, obtenemos un epi $k\to k^n$, $n$ debe ser igual al $1$. Ahora la secuencia exacta corta $$0\to J\to R\xrightarrow{\;f\;} R\to 0$$ must split, because the rightmost $$ %R es proyectivo.

¿Ves cómo terminar esto?

Answer 4

Aquí está mi respuesta original:

No; vamos a $R=k[x_1,x_2,\ldots]$ para cualquier campo $k$ (un polinomio de anillo en infinidad de variables). ¿Ves no trivial ideal $J\subset R$ tal que $R/J\cong R$? (Hay un montón).

Lo que yo pretendía era que, para cualquier conjunto infinito $S\subseteq\mathbb{N}$, la elección de $J=(\{x_i\mid i\notin S\})$ le da un anillo de isomorfismo $R/J\cong R$. El problema con mi respuesta fue que este no es el mismo como un isomorfismo de $R$-módulos. La definición de $R$-módulo es un grupo abelian que actúa $R$ (por la multiplicación escalar); el hecho de que $R/J\cong R$ como anillos incluye el hecho de que son isomorfos como abelian grupos (en suma), que es parte de lo que es necesario para un isomorfismo de $R$-módulos, pero como todos los demás (correcta) de las respuestas, el problema esencial radica en la multiplicación escalar de aspecto: $J$ aniquila $R/J$ (es decir, la ampliación $R/J$ por cualquier elemento de $J$ da el cero mapa), mientras que $R^n$ ha trivial annihilator, por lo $J$ debe ser trivial.