Prueba de no ordenar del campo complejo

Question

Deje $\mathcal F$ ser un campo. Supongamos que existe un conjunto de $P \subset \mathcal F$ que satisface las siguientes propiedades:

• Para cada una de las $x \in \mathcal F$, exactamente una de las siguientes afirmaciones tiene: $x \in P$, $-x \in P$, $x =0$.

• Para $x,y \in P$, $xy \in P$ y $x+y \in P$.

Si ese $P$ existe, $\mathcal F$ es un orden de campo.

Definir $x \le y \Leftrightarrow y -x \in P \vee x = y$.

Ejercicio: Probar que el campo de los números complejos $\mathbb C$ no puede ser, dada la estructura de un orden de campo.

Mi Trabajo hasta Ahora: (Edit 1 nota: Esta sección y la Pregunta es al principio, simplemente dejando esto como referencia, ya que a donde empecé a)

Deje $i$ ser tal que $i \in P, i \ne 0 \Rightarrow i > 0$. Pero $i^2 = -1 \notin P$.

Mi Pregunta: no estoy seguro de cuánto necesito para redefinir, y cómo puedo rigurosamente haciendo de este mosaico argumento hermético. Soy consciente de que no he abordado cómo supuse que $-1 \notin P$, pero no estoy seguro de cómo distinguir entre lo $1$ $i$ en esta prueba.

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Edición #1

1er Paso: Mostrar que $-1 \notin P$, se observa que la $(-1)(-1) = 1$ por lo tanto si $-1 \in P$ ambos $x, -x \in P$, una contradicción.

2º Paso: mostrar A $i \notin P$, tenemos que si $i \in P \Rightarrow i^2 \in P$, pero $i^2 = -1 \notin P$, lo $i \notin P$.

3er Paso: mostrar A $-i \notin P$,$(-i)(-i) = i^2 \notin P$, lo $-i$ no puede ser en $P$.

Conclusión: Desde $i \ne 0$, e $i, -i \notin P$, no hay ningún conjunto de $P \subset \mathbb C$ que satisface las propiedades anteriormente mencionadas, por lo $\mathbb C$ no está ordenado.

Gracias André Nicolas y Eric Stucky por su ayuda!

Answer 1

Para mostrar que no es que $-1$ $P$, tenga en cuenta que si $-1\in P$ y $(-1)(-1)\in P$, que contradice el hecho eso si $x \ne 0$ exactamente uno de $x$ y $-x$ es en $P$.

A continuación te mostramos que $i\notin P$. Supongamos que por el contrario que $i\in P$. Entonces $i^2\in P$, que contradice el hecho de que $-1\notin P$.

El mismo argumento demuestra que $-i\notin P$. Esto contradice el hecho eso si $x\ne 0$, entonces exactamente uno de $x$ y $-x$ es en $P$.

Answer 2

Creo que la definición de $P$ tienes es un poco off: si $x=0$ entonces las tres condiciones que se cumplen. Una posible solución es " $x\in P$ o $-x\in P$, con la celebración de iff $x=0$." Por otro lado, no estoy convencido de que es importante que $0\in P$; usted debe comprobar que antes de hacer las cosas complicadas.

Para un campo arbitrario, $-1\notin P$ porque $(-1)(-1) = 1\in P$, lo cual es imposible.

A partir de allí, se asume que el $P$ existe y comenzar una prueba por contradicción. Mediante su trabajo en la OP por lo tanto, puede mostrar que $i\notin P$. Sin embargo, desde la $i\neq 0$, también tenemos que mostrar que $-i\notin P$ antes de continuar. La prueba es esencialmente idéntica a la que dio en el OP.

Esto contradice el hecho de que cualquiera de las $i$ o $-i$$P$. Por lo tanto, no puede ser un conjunto de $P\subset\mathbb{C}$.